第2章4节等边三角形性质与判定讲义oc.doc

龙文教育学科教师讲义课 题第2章4节等边三角形性质与判定复习教学目标1、理解等边三角形的性质与判定. 体会等边三角形与现实生活的联系．、理解等边三角形的轴对称性．2全面复习等边三角形，发现和构造等边三角形来解答几何问题重点、难点◆教学重点：等边三角形的性质与判定.◆教学难点：等边三角形的轴对称变换与旋转变换.考点及考试要求教学内容 知识瞭望 等腰三角形特殊的等腰三角形——等边三角形1、定义　　三边都相等的三角形是等边三角形等边三角形是特殊的等腰三角形 　　（注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形） 2、性质　　（1）等边三角形的内角都相等，且为60度 　　（2）等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合（三线合一） 　　（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线 　　（4）等边三角形是锐角三角形 3、判定　　（首先考虑判断三角形是等腰三角形） 　　（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义） 　　（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形 　　（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 　　(4) 有两个角等于60度的三角形是等边三角形 【例题经典等边三角形是特殊的等腰三角形，是证明角相等、线段相等的重要工具．在解答几何问题时，我们若能及时发现或构造等边三角形，则往往比较容易找到解题的切人点，现举例说明．一、 求角度的大小例1 如图1，AD是等边 ABC的中线，在AC上取AE=AD．求 EDC的度数．解析：因为 ABC是等边三角形且AD是等边 ABC的中线，所以AD是 C的平分线和BC边上的高，且 CAD= BAD：30°。

ADC=90°．又AE=AD，所以 ADE．： AED=75°．所以 EDC=90°-75°=15°．点评：由计算可知无论是等边三角形还是等腰三角形，只要满足AD=AE,都有结论 EDC= BAD.二、 证明线段相等例2 如图2，已知 ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且 DEF也是等边三角形，除了已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想解析：本题是一道开放型探索题，要充分利用等边三角形的相关知识来解答．图中相等的线段有AE=BF=CD，AF=BD= CE．·．· ABC与 DEF都是等边三角形， ．A= B= C= 60°． EDF= DEF= EFD= 60°,DE= EF= FD．叉∵ CED + AEF= 120°． CDE+ CED= 120度．∴ AEF= CDE．同理．得 CDE= BFD．∴ AEF≌ BFD ≌△CDE(AAS)．所以AE=BF=CD，AF=BD=CE．点评：解答时，应根据条件探索相应的结论 符合条件的结论往往有多个，需充分利用条件进行合理猜想，发现规律，得出结论。

三、判断三角形的形状例3 如图3，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA 、PB、PC，以 BP为边作 PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系并证明你的结论．(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ ，试判断△PQC的形状，并说明理由．解析：(1)通过观察发现，由于AP所在的△ABP与CQ所在的△CBQ的形状相同、大小接近那么△ABP与△CBQ有可能全等．所以可以猜想AP=CQ．下面证明这一猜想是否成立．因为△ABC是等边三角形，所以AB=CB ABC=60°．所以 ABP=60°- PBC由 PBQ=60°，所以 CBQ=60°- PBC．所以 ABP= CBQ．又BP=BQ，所以△ABP≌△CBQ(SAS)，即AP=CQ．(2) △PQC是直角三角形，理由如下：因为PA：PB：PC=3：4：5，所以可设PA=3a，PB=4a，PC=5a．因为BQ=BP． PBQ=60°,所以△PBQ是等边三角形．这时PQ=PB=4a．在△PCQ中，因为PQ =4a，CQ=PA=3a，PC= 5a，所以PQ2 +PC2 =PC2 ，所以△PQC是直角三角形．四、 处理与动点有关的问题例4 如图4，把等边△ABC和等边△ BCD 拼合在一起，E 在AB上移动，F在BD上移动。

且满足 AE=BF, 试说明不论E、F怎样移动，△ECF总是等边三角形．解析：因为△ABC和△BCD都是等边三角形所以△ABC与△BCD关于BC所在的直线对称；又BA=BD，E在AB上移动，F在BD上移动，且满足AE=BF，所以BE=DF，而CB=CD． D= CBE=60°， 所以△ECB≌△FCD，所以CE= CF， DCF= BCE，而 DCF+ BCF= 60°． 即 DCE+ BCF=60°则 ECF=60°，所以△ECF为等边三角形．． 点评：这里不能误认为△BCE与△BCF是关于BC对称的两个三角形．五、 计算三角形的周长例5 如图5，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角 BDC为120°的等腰三角形，以D为顶点做一个60°角，角的两边分别交AB与M ，交AC于N，连接MN形成一个三角形．求证：△AMN的周长等于2．解析：要证明△AMN的周长等于2，由于△ABC的边长为1．实际上所求证的问题是MN=BM+CN．为此，延长AC至E，使CE=BM， 只须证明MN=EN 即可．于是可证△MDN≌△EDN，从题目条件中很容易发现DN为公共边， DBC= DCB=30°，再结合等边三角形的每个内角都是60°．便可得到 ABD= ACD=90°，而DB=DC，CE =BM．所以△DMB ≌△DEC．所以DM =DE． BDM= CDE，由于 MDN=60°．所以 BDM+ CDN=60°，于是 CDE+ CDN=60°，即 EDN=60°．所以 MDN= EDN，DM=DE。

所以△MDN≌ △AEDN．所以MN = EN, 从而证得结论．实战演练1. 如图1，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点求证：ΔMNP是等边三角形2.如图14-61，在ΔABC中，∠A=600，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE、CF交于点M （1）如果AB=AC，求证：ΔDEF是等边三角形； （2）如果AB≠AC，试猜想ΔDEF是不是等边三角形？如果ΔDEF是等边三角形，请加以证明；如果ΔDEF不是等边三角形，请说明理由； （3）如果CM=4cm，FM=5cm，求BE的长度3.如图14-62，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON=600 （1）OP为多少时，ΔAOP为等边三角形？ （2）OP为多少时，ΔAOP为直角三角形？ （3）OP为多少时，ΔAOP为锐角三角形？ （4）OP满足什么条件时，ΔAOP为钝角三角形？ 4．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．。