对数函数考点分析及经典例题讲解1． 对数函数的定义：函数 叫做对数函数,定义域是 a的取值0＜a＜1a＞1定义域 图 象图像特征在y轴的右侧，过定点（1，0）即x=1时，y=0当x>0且x→0时,图象趋近于 y轴正半轴.当x>0且x→0时，图象趋近于 y轴负半轴.值域R性 质（1）过定点（1，0），（2）在（0，+∞）上是减函数（2）在（0，+∞）上是增函数函数值的变化规律当01 时, y<0.当 01时， y>0 .3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数 .它们的图象关于对称.案例分析：考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1） log23.4，log23.8； （2）log0.51.8，log0.52.1； （3）loga5.1，loga5.9； （4）log75，log67. (5)； (6)变式训练：1、已知函数，则当时， ；当时， .解析：根据对数函数的图像可得当时，；当时，．答案：；．考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1） ； （2） ； （3） （4）例3、选择题：若则m、n满足的条件是（ ） A、m>n>1 B、n>m>1 C、00, ∴0<-x2-4x+12≤16. ∵在(0,16］上是减函数, ∴y≥=-4. ∴函数的值域为［-4,+∞).（2）、（3）y=loga(a-ax)(a>1). 令u=a-ax,∵u>0,a>1,∴ax0,u=a-ax0得x>5或x<1因此y＝log2(x2－6x＋5)的定义域为(－∞，1)∪(5，＋∞)设y＝log2t，t＝x2－6x＋5∵x>5或x<1，∴t>0，∴y∈(－∞，＋∞)因此y＝log2(x2－6x＋5)的值域为R.3、已知满足条件，求函数的最大值．解：令，则；解得，即；∴，∴．∴；∴当时，．4、已知，求的值。
解析：由得，所以有，即，则或，当时，，所以应舍去，所以5、设函数，且，． （1）求 的值； （2）当时，求的最大值．解析：由已知，得， 解得．（2）．在上是增函数， ． 的最大值为．考点四、 对数函数的图像例1、已知a＞0且a≠1，函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是（ ）【分析】应先由函数定义域判断图像的位置，再对底数a进行讨论，最后选出正确选项.【解析】解法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,从而排除A,C. 其次,从单调性着眼,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D. 故应选B. 解法二:若01,则曲线y=ax上升且过(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0),只有B满足条件. 解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数 (图象关于直线y=x对称),则可直接选定B.例2、已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象， 则a1，a2，a3，a4的大小关系是( )A．a4＜a3＜a2＜a1B．a3＜a4＜a1＜a2C．a2＜a1＜a3＜a4D．a3＜a4＜a2＜a1解析：选B.由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用logaa＝1结合图象求解．例3、函数y＝log2|x|的大致图象是( )解析：选D.当x>0时，y＝log2x＝log2x；当x<0时，y＝log2(－x)＝－log2(－x)，分别作图象可知选D.巩固练习：1、已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝()x，x>1}，则A∪B＝( )A．{y|00} C．∅ D．R[答案] B[解析] A＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}，B＝{y|y＝()x，x>1}＝{y|00}，故选B.2、已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则ab＝( )A．1 B．2 C. D.解析：选A.如图由f(a)＝f(b)，得|lga|＝|lgb|.设0＜a＜b，则lga＋lgb＝0. ∴ab＝1.3、函数y＝loga(x＋2)＋3(a＞0且a≠1)的图象过定点________．解析：当x＝－1时，loga(x＋2)＝0，y＝loga(x＋2)＋3＝3，过定点(－1,3)．答案：(－1,3)4、已知函数f(x)＝，g(x)＝log2x，则f(x)与g(x)两函数的图象的交点个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案：B5、函数y=loga(4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1) 6、比较下列各组数中两个值的大小：(1) log 23.4 , log 28.5 （2）log 0.31.8 , log 0.32.7（3） log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , 且a≠1 )7. 比较下列各题中两个值的大小:⑴ log106 log108 ⑵ log0.56 log0.54 ⑶ log0.10.5 log0.10.6 ⑷ log1.50.6 log1.50.48．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小： (1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < loga n (0 log a n (a>1)考点五、求最值例1、已知x∈［1,9］,求的最大值及当y取最大值时x的值.【分析】要求函数y=［f(x)］2+f(x2)的最大值，首先要求函数的解析式，然后求出函数的定义域， 最后用换元法求出函数的值域.【解析】∵f(x)=2+log3x,∴y=［f(x)］2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=log32x+6log3x+6=(log3x+3)2-3. ∵函数f(x)的定义域为［1,9］, ∴要使函数y=［f(x)］2+f(x2)有定义，必须1≤x2≤9， 1≤x≤9. ∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1.令u=log3x，则0≤u≤1. 又∵函数y=(u+3)2-3在［-3,+∞)上是增函数, ∴当u=1时，函数y=(u+3)2-3有最大值13. 即当log3x=1,即x=3时，函数y=［f(x)］2+f(x2)有最大值为13.例2、（1）若且，求的取值范围。
2）已知，求的取值范围；例3、解下列方程：（1） 、 （2）、（3）、 （4）、例4、解不等式：（1）、 （2）、变式训练：1、函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么f(x)在(1，＋∞)上( )A．递增且无最大值 B．递减且无最小值C．递增且有最大值 D．递减且有最小值[答案] A[解析] ∵当01，∴当x>1时，f(x)＝loga(x－1)在(1，＋∞)上为增函数，且无最大值，故选A考点六、求变量范围例1、已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).（1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范。
