均值不等式及其证明(精编文档).docx

均值不等式及其证明(精编文档).doc 【最新整理，下载后即可编辑】 1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 1 12(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。

平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种 典型的证明方法供大家参考学习 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥ 那么，当1n k =+时，由于 121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G += 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1 k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于 121 ...k k a a a a +++++121111...(...)(1)k k k k k a a a a G G k G ++++=+++++++-- 1(1)k k G +≥- 12(1)k k G +≥- 12(1)k k k G +=-1(1)k k G +=+ 从而，有11k k A G ++≥ 证法三（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。

（2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于 121...k k a a a a +++++ 证法四（归纳法和变换） 证法五（利用排序不等式） 设两个实数组12,,...,n a a a 和12,,...,n b b b 满足 1212...;...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤， 则 1122...n n a b a b a b +++（同序乘积之和） ≥1122...j j n jn a b a b a b +++（乱序乘积之和） ≥1211...n n n a b a b a b -+++（反序乘积之和） 其中12,,...,n j j j 是1,2,...,n 的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是12...n a a a ===或12...n b b b ===成立 证明： 切比雪夫不等式（利用排序不等式证明） 杨森不等式（Young ）设12120,0,1λλλλ>>+=则对12,0x x >有 1 2 121122x x x x λλλλ≤+ 等号成立的充分必要条件是12x x =。

琴生不等式（Jensen ） 设(),(,)y f x x a b =∈为上凸（或下凹）函数，则对任意(,)i x a b ∈ (1,2,...,)i n =，我们都有 11221122()()...()(...)n n n n f x f x f x f x x x λλλλλλ+++≤+++或 11221122()()...()(...)n n n n f x f x f x f x x x λλλλλλ+++≥+++ 其中 10(1,2,...,)1n i i i i n λλ=>==∑ 习题一 1. 设11 ,, 1a b R a b +∈+=求证：对一切正整数n ，有 21()22n n n n n a b a b ++--≥- 2. 设,,,a b c R +∈求证： (1)(1)(1)2(1a b c b c a +++≥ 3. 设123,,x x x 为正实数，证明： 222332112123231 ()()()x x x x x x x x x x x x ++≤++ 4. 设,,,a b c R +∈1a b c ++=，求证： (1)(1)(1)8(1)(1)(1)a b c a b c +++≥--- 5. 设,,x y z R +∈，且x y z ≥≥，求证： 222222x y y z z x x y z z x y ++≥++ 6. 设 ,,a b c R + ∈，满足 2221 a b c ++=，求证： ab bc ca c a b ++≥7. 设,,,a b c d 是非负实数，满足1ab bc cd da +++=，求证： 33331 3 a b c d b c d c d a d a b a b c +++≥++++++++ 8. 设n 为给定的自然数，3n ≥，对于n 个给定的实数12,,...,;n a a a 记(1)i j a a i j n -≤<≤的最小值为m ，求在 22212...1n a a a +++=的条件下，m 的最大值。