人船反冲问题.pdf

专题�人船模型与反冲运动 人船模型 目录 原理 条件 应用实例 编辑本段原理 “人船模型”�不仅是动量守恒问题中典型的物理模型�也是最重要的力学综合模型之一�对“人船模型”及其典型变形的研究�将直接影响着力学过程的发生�发展和变化�在将直接影响着力学过程的分析思路�通过类比和等效方法�可以使许多动量守恒问题的分析思路和解答步骤变得极为简捷 编辑本段条件 模型应用的条件�一个原来处于静止状态的系统�当系统中的物体间发生相对运动的过程中�有一个方向上动量守恒� 编辑本段应用实例 1、“人船模型” 质量为 M 的船停在静止的水面上�船长为 L�一质量为 m 的人�由船头走到船尾�若不计水的阻力�则整个过程人和船相对于水面移动 的距离� 分析�“人船模型”是由人和船两个物体构成的系统�该系统在人和船相互作用下各自运动�运动过程中该系统所受到的合外力为零�即人和船组成的系统在运动过程中总动量守恒 解答�设人在运动过程中�人和船相对于水面的速度分别为 v 和 u�则由动量守恒定律得� mv=Mu 由于人在走动过程中任意时刻人和船的速度 v 和 u 均满足上述关系� 所以运动过程中�人和船平均速度大小 也应满足相似的关系�即 mv=Mu 而 v=x/t�u=y/t,所以上式可以转化为� mx=My 又有�x+y=L,得� 以上就是典型的“人船模型”� 说明人和船相对于水面的位移只与人和船的质量有关�与运动情况无关。

该模型适用的条件�一个原来处于静止状态的系统�且在系统发生相对运动的过程中�至少有一个方向(如水平方向或者竖直方向)动量守恒 2、“人船模型”的变形 变形 1� 质量为 M 的气球下挂着长为 L 的绳梯� 一质量为 m 的人站在绳梯的下端�人和气球静止在空中�现人从绳梯的下端往上爬到顶端时�人和气球相对于地面移动的距离� 分析�由于开始人和气球组成的系统静止在空中�竖直方向系统所受外力之和为零�即系统竖直方向系统总动量守恒得� mx=My x+y=L 这与“人船模型”的结果一样 变形 2�如图所示�质量为 M 的 圆弧轨道静止于光滑水平面上�轨道半径为 R�今把质量为 m 的小球自轨道左测最高处静止释放�小球滑至最低点时�求小球和轨道相对于地面各自滑行的距离� 分析�设小球和轨道相对于地面各自滑行的距离为 x 和 y�将小球和轨道看成系统�该 系统在水平方向总动量守恒�由动量守恒定律得� mx=My x+y=L 这又是一个“人船模型” �1� 关于“人船模型” 典型的力学过程通常是典型的模型所参与和经历的� 而参与和经历力学过程的模型所具备的特征�将直接影响着力学过程的发生�发展和变化�在将直接影响着力学过程的分析思路�在下列力学问题中我们将面临着一个典型的“人船模型”。

问题�如图—1 所示�质量为 M 的小船长 L�静止于水面�质量为 m 的人从船左端走到船右端�不计水对船的运动阻力�则这过程中船将移动多远� 分析思路�①分析“人船模型”运动过程中的受力特征�进而判断其动量守恒�得� mυ =Mu ②由于运动过程中任一时刻人�船速度大小 υ 和 u 均满足上述关系�所以运动过程中�人、船平均速度大小� 和 也应满足相似的关系即� m =M ③在上式两端同乘以时间�就可得到人�船相对于地面移动的距离 S1 和 S2 的关系为� mS1=MS2 ④考虑到人、船相对运动通过的距离为 L�于是得� S1+S2=L ⑤由此即可解得人、船相对于地面移动的距离分别为 � S1= L S2= L 人船模型”的几种变例 ①把“人船模型”变为“人车模型” 变例 1�如图—2 所示�质量为 M�长为 L 的平板小车静止于光滑水平面上�质量为 m 的人从车左端走到车右端的过程中�车将后退多远� 解答�变例 1 中的“人车模型”与“人船模型”本质相同�于是直接得� S2= L ②把水平方向的问题变为竖直方向 变例 2�如图—3 所示�总质量为 M 的足球下端悬着质量为 m 的人而静止于高度为 h 的空中�欲使人能完全沿强着地�人下方的强至少应为多长� 解答� 变例 2 中的 h 实际上是人相对于地的位移 S1� 而绳长则是人与气球的相对位移 L�于是有� h= L 可解得绳长至少为� L= h ③把直线运动问题变为曲线运动. 变例 3�如图—4 所示�质量为 M 的物体静止于光滑水平面上�其上有一个半径为 R 的光滑半球形凹面轨道� 今把质量为 m 的小球自轨道右测与球心等高处静止释放�求 M 向右运动的最大距离。

解答�变例 3 中小球做的是复杂的曲线运动�但只考虑其水平分运动�其模型例与“人船模型”相同� 而此时的相对位移大小为 2R� 于是物体 M 沿水平而向右移动的最大距离为� S2= ·2R ④把模型双方的质量比变为极端情况. 变例�如图—5 所示�光滑水平杆上套有一个质量可忽略的小环�长 L 的强一端系在环上下�另一端连着质量为 M 的小球�今使小球与球等高且将绳拉直�当把小球由静止释放直到小球与环在同一竖直线上� 试分析这一过程中小球沿水平方向的移动距离. 解答�变例 4 中环的质量取得某种极端的值� m→0 于是所求的小球沿水平方向移动的距离应为� S2= L→0 一、人船模型 1、若系统在整个过程中任意两时刻的总动量相等�则这一系统在全过程中的平均动量也 必定守恒在此类问题中�凡涉及位移问题时�我们常用“系统平均动量守恒”予以解决 如果系统是由两个物体组成的�合外力为零�且相互作用前均静止相互作用后运动�则由0�m1�m2得推论 0�m1s1�m2s2�但使用时要明确 s1、s2必须是相对地面的位移 2、人船模型的应用条件是�两个物体组成的系统�当有多个物体组成系统时�可以先转 化为两个物体组成的系统�动量守恒�系统的合动量为零� 二、反冲运动 1、指在系统内力的作用下�系统内一部分物体向某方向发生动量变化时�系统内其余部 分物体向相反方向发生动量变化的现象 2、研究反冲运动的目的是找反冲速度的规律�求反冲速度的关键是确定相互作用的物体 系统和其中各物体对地的运动状态� 专题�碰撞中的动量守恒 碰撞 1、碰撞指的是物体间相互作用持续时间很短�而物体间相互作用力很大的现象� 在碰撞现象中�一般都满足内力远大于外力�故可以用动量守恒定律处理碰撞问题�按 碰撞前后物体的动量是否在一条直线上有正碰和斜碰之分�中学物理只研究正碰的情况� 2、一般的碰撞过程中�系统的总动能要有所减少�若总动能的损失很小�可以略去不计� 这种碰撞叫做弹性碰撞� 其特点是物体在碰撞过程中发生的形变完全恢复� 不存在势能的储 存�物体系统碰撞前后的总动能相等。

若两物体碰后粘合在一起�这种碰撞动能损失最多� 叫做完全非弹性碰撞�其特点是发生的形变不恢复�相碰后两物体不分开�且以同一速度运 动�机械能损失显著在碰撞的一般情况下系统动能都不会增加�有其他形式的能转化为机 械能的除外�如爆炸过程��这也常是判断一些结论是否成立的依据� 3、弹性碰撞 题目中出现� “碰撞过程中机械能不损失”�这实际就是弹性碰撞�设两小球质量分别 为 m1、m2�碰撞前后速度为 v1、v2、v1'、v2'�碰撞过程无机械能损失�求碰后二者的速度� 根据动量守恒 m1 v1�m2 v2�m1 v1/�m2 v2/ „„① 根据机械能守恒 m1 v12十m2v22�m1 v1/2十m2 v2/2 „„② 由①②得 v1'� �v2'� 仔细观察 v1'、v2'的结果很容易记忆�当 v2�0 时 v1'��v2'� ①当 v2�0�m1�m2时�v1’�0�v2’�v1 这就是我们经常说的交换速度、动量和能量� ②m1��m2�v'1�v1�v2’�2v1�碰后 m1几乎未变�仍按原来速度运动�质量小的物 体将以 m1的速度的两倍向前运动 ③m1m2�v'l��v1�v2'�0� 碰后 m1被按原来速率弹回�m2几乎未动。

【规律方法】 专题�人船模型与反冲运动 �一�人船模型及其应用 【例 1】如图所示�长为 l、质量为 M 的小船停在静水中�一个质量为 m 的人站在船头� 若不计水的阻力�当人从船头走到船尾的过程中�船和人对地面的位移各是多少� 解析�当人从船头走到船尾的过程中�人和船组成的系统在水平方向上不受力的作用� 故系统水平方向动量守恒�设某时刻人对地的速度为 v2�船对地的速度为 v1�则 mv2�Mv1 �0�即 v2/v1�M/m. 在人从船头走到船尾的过程中每一时刻系统的动量均守恒�故 mv2t�Mv1t�0�即 ms2 �Ms1�0�而 s1�s2�L 所以 思考��1�人的位移为什么不是船的长度� �2�若开始时人船一起以某一速度匀速运动�则还满足 s2/s1�M/m 吗� 【例 2】载人气球原静止于高 h 的高空�气球质量为 M�人的质量为 m�若人沿绳梯滑至 地面�则绳梯至少为多长� 解析� 气球和人原静止于空中� 说明系统所受合力为零� 故人下滑过程中系统动量守恒� 人着地时� 绳梯至少应触及地面� 因为人下滑过程中� 人和气球任意时刻的动量大小都相等� 所以整个过程中系统平均动量守恒�若设绳梯长为 l�人沿绳梯滑至地面的时间为 t�由图 可看出�气球对地移动的平均速度为�l�h�/t�人对地移动的平均速度为�h/t�以向上为 正方向��由动量守恒定律�有 M�l�h�/t�m h/t�0�解得 l�h� 答案�h 说明��1�当问题符合动量守恒定律的条件�而又仅涉及位移而不涉及速度时�通常 可用平均动量求解� �2�画出反映位移关系的草图�对求解此类题目会有很大的帮助� �3�解此类题目�注意速度必须相对同一参照物� 【例 3】如图所示�一质量为 ml的半圆槽体 A�A 槽内外皆光滑�将 A 置于光滑水平面 上�槽半径为 R.现有一质量为 m2的光滑小球 B 由静止沿槽顶滑下�设 A 和 B 均为弹性体� 且不计空气阻力�求槽体 A 向一侧滑动的最大距离� 解析�系统在水平方向上动量守恒�当小球运动到槽的最右端时�槽向左运动的最大距离设为 s1�则 m1s1�m2s2�又因为 s1�s2�2R�所以 思考��1�在槽、小球运动的过程中�系统的动量守恒吗� �2�当小球运动到槽的最右端时�槽是否静止�小球能否运动到最高点� �3�s1�s2为什么等于 2R�而不是π R� 【例 4】某人在一只静止的小船上练习射击�船、人连同枪�不包括子弹�及靶的总质量 为 M�枪内有 n 颗子弹�每颗子弹的质量为 m�枪口到靶的距离为 L�子弹水平射出枪口相 对于地的速度为 v0�在发射后一发子弹时�前一发子弹已射入靶中�在射完 n 颗子弹时� 小船后退的距离为� � A. 0 B. C. D. 解析�设 n 颗子弹发射的总时间为 t�取 n 颗子弹为整体�由动量守恒得 nmv0�Mv1� 即 nmv0t�Mv1t� 设子弹相对于地面移动的距离为 s1�小船后退的距离为 s2�则有� s1�v0t� s2� v1t� 且 s1�s2�L 解得� 答案�C �二�反冲运动的研究 【例 5】如图所示�在光滑水平面上质量为 M 的玩具炮�以射角 α 发射一颗质量为 m 的 炮弹�炮弹离开炮口时的对地速度为 v0。

求玩具炮后退的速度 v� 解析�炮弹出口时速度 v0可分解为竖直向上的分量 vy和水平向右的分量 vx取炮和炮 弹为系统�初始时系统动量为零�炮弹出口时炮弹有竖直向上的动量 mvy�而炮车在竖直方 向上却没方向相反的动量� 因此在竖直分方向上系统的动量不守恒 在水平方向上因地光滑 无外力� 所以可用水平方向动量守恒来解 炮车和炮弹组成的系统在水平分方向上动量守恒 设水平向左为正方。