知识讲解-定积分的概念124.doc

定积分的不雅点编稿：赵雷审稿：李霞【进修目的】1.经过求曲边梯形的面积跟汽车行驶的行程，了解定积分的配景；2.借助于几多何直不雅定积分的根本思维，了解定积分的不雅点，能用定积分界说求复杂的定积分；3.了解控制定积分的几多何意思．【要点梳理】要点一、定积分的界说定积分的不雅点普通地，设函数在区间上延续，用分点将区间平分红个小区间，每个小区间长度为〔〕，在每个小区间上任取一点，作跟式：假如有限濒临于〔亦即〕时，上述跟式有限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分记为：，定积分的相干称号：——叫做积分号，——叫做被积函数，——叫做被积表白式，x——叫做积分变量，a——叫做积分下限，b——叫做积分下限，[a，b]——叫做积分区间要点解释：〔1〕定积分是一个常数，即有限趋近的常数〔时〕记为，而不是．(2)定积分是一个数值〔极限值〕，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表现有关，即〔称为积分方式的稳定性〕，别的定积分与积分区间[a，b]毫不相干，差别的积分区间，定积分的积分高低限差别，所得的值也就差别，比方与的值就差别〔3〕用界说求定积分的普通办法是：①联系：平分区间；②近似替代：取点；③求跟：；④取极限：〔4〕按定积分的界说，①由延续曲线、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为；②设物体活动的速率v=v〔t〕，那么此物体在时辰区间[a，b]内活动的距离s为。

要点二、定积分的几多何意思定积分的几多何意思：从几多何上看，假如在区间上函数延续且恒有，那么定积分表现由直线跟曲线所围成的曲边梯形(如图中的暗影部分)的面积，这确实是定积分的几多何意思普通状况下，定积分的几多何意思是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数跟，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号要点解释：〔1〕事先，积分在几多何上表现由、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积；特不地：当a=b时，有，如图〔a〕〔2〕事先，由、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，积分在几多何上表现上述曲边梯形面积的相反数因而，即，如图〔b〕〔3〕当在区间[a，b]上有正有负时，积分在几多何上表现几多个小曲边梯形面积的代数跟〔x轴上方面积取正号，x轴下方面积取负号〕在如右图所示的图象中，定积分要点三、定积分的性子依照定积分的界说，不难过出定积分的如下性子：性子1：；性子2：；性子3：定积分对于积分区间存在可加性如右图：〔此中〕要点解释：性子1：被积函数常数因子能够提到积分号前性子2：函数代数跟〔或差〕的定积分即是它们的定积分的代数跟〔或差〕同时，那特性子可推行到有限多个函数代数跟〔或差〕的情况。

性子3：不管a，b，c三点的互相地位怎样，恒有这阐明定积分对于积分区间存在可加性能够用右图直不雅地表现出来，即S曲边梯形AMNB=S曲边梯形AMPC+S曲边梯形CPNB典范例题】范例一、应用定积分求曲边梯形面积例1应用定积分的界说求由直线x=1，x=2跟y=0及曲线y=x3围成的图形的面积思绪点拨】依照求积分的界说对曲边梯形：①联系；②近似替代；③求跟；④取极限剖析】如以下图〔1〕联系把请求面积的曲边梯形ABCD联系成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[1，2]平分红n个小区间，，，…，，…，，每个小区间的长度为，过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD联系成n个小曲边梯形，它们的面积分不记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn〔2〕近似替代取各小区间的左端点，用以点的纵坐标为一边，以小区间长为其邻边的小矩形面积近似替代第i个小曲边梯形的面积，能够近似地表现为：〔i=1，2，3，…，n〕因为每一个小矩形的面积都能够作为响应的小曲边梯形面积的近似值，因而n个小矩形面积的跟确实曲直边梯形ABCD面积S的近似值，即①〔3〕求跟当分点数量愈多，即Δx愈小时，跟式①的值就愈濒临曲边梯形ABCD的面积S因而，n→+∞即Δx→0时，跟式①的极限确实是所求的曲边梯形ABCD的面积。

因为：〔4〕取极限总结升华】〔1〕依照界说求曲边梯形面积的步调：①联系；②近似替代；③求跟；④取极限〔2〕求跟时起首可提取公因式，再将跟式进展处置〔3〕从图形上看，当n越来越年夜时，分别越来越细，暗影部分的面积与曲边梯形的面积相差越来越小；当n→+∞时，小矩形构成部分近似于曲边梯形，因而能够将视为直线x=1、x=2、y=0跟曲线y=x3围成的图形的面积触类旁通：【变式】求由y=3x、x=0、x=1、y=0围成的图形的面积S谜底】〔1〕联系把区间[0，1]平分红n个小区间：〔i=1，2，…，n〕每个小区间长度为，把梯形分红n个小梯形，其面积记为ΔSi〔i=1，2，…，n〕〔2〕近似替代用小矩形面积近似替代小梯形面积〔i=1，2，…，n〕〔3〕求跟〔4〕取极限当n趋势于+∞时，趋近于，∴所求图形的面积S为范例二、应用定积分界说求运植物体的行程【高清讲堂：定积分的不雅点385551咨询题二】例2汽车以速率v做匀速直线活动时，经过期辰t所行驶的行程为s=vt假如汽车做变速直线活动，在时辰t的速率为v(t)=－t2+2〔单位：km/h〕，那么它在0≤t≤1〔单位：h〕这段时辰行家驶的行程s〔单位：km〕是几多？【思绪点拨】起首精确了解题意：所求行程确实是速率在0≤t≤1上的积分。

剖析】〔1〕联系在时辰区间[0，1]上等距离地拔出n－1外小分点，将它平分红n个小区间：，，…，，记第i个区间为〔i=1，2，…，n〕，其长度为，把汽车在时辰段，，…，下行驶的行程分不记作：Δs1，Δs2，…，Δsn，那么显然有〔2〕近似替代：当n非常年夜，即Δt非常小时，在区间上，函数v〔t〕=－t2+2的值变更非常小，近似地即是一个常数，无妨以为它近似地即是左端点处的函数从物理意思上看，确实是汽车在时辰段〔i=1，2，…，n〕上速率的变更非常小，无妨以为它近似地以时辰处的速率做匀速行驶，即在部分小范畴内“以匀速代变速〞，因而〔i=1，2，…，n〕①〔3〕求跟：由①得〔4〕取极限：，因而这段时辰行家驶的行程s是km总结升华】用联系、近似替代、求跟、取极限这四个步调能够求曲边多边形的面积，它表白了一种化整〔联系〕为零，积零为整〔迫近〕的思维办法触类旁通：【变式】曾经明白某运植物体做变速直线活动，它的速率v是时辰t的函数v〔t〕，写出物体在t=0到t=t0这段时辰内所经过的行程s的求法谜底】〔1〕联系将时辰区间[0，t0]分红n等份：〔i=1，2，…，n〕，每个小区间所表现的时辰为，各小区间物体活动的行程记作Δsi〔i=1，2，…，n〕。

〔2〕近似替代在每个小区间上以匀速直线活动的行程近似替代变速直线活动的行程：在小区间上任取一时辰〔i=1，2，…，n〕用时辰的速率近似替代第i个小区间上的速率由匀速直线活动的行程公式，每个小区间物体活动所经过的行程能够近似地表现为〔i=1，2，…，n〕〔3〕求跟因为每个小区间上物体活动的行程能够用这一区间上做匀速直线活动的行程近似替代，因而在时辰[0，t0]范畴物体活动的行程s，就能够用这一物体分不在n个小区间上做n个匀速直线活动的行程跟近似替代①〔4〕取极限当所分时辰区间愈短，即愈小时，跟式①的值就愈濒临s因而，当n趋势于+∞，即趋势于0时，跟式①有限趋近于s，因而s确实是所求的物体在时辰区间[0，t0]上所经过的行程范例三、定积分的几多何意思例3．用定积分的几多何意思求：〔1〕；〔2〕；〔3〕思绪点拨】画出简图，联合图形断定积分区间剖析】〔1〕如以以下图：暗影部分面积为，从而〔2〕如右上图：因为A的面积即是B的面积，从而〔3〕设，那么，表现半径为2的个圆，由定积分的不雅点可知，表现如以下图的以2为半径的圆的面积,因而【总结升华】〔1〕应用定积分的几多何意思准确画出图形求定积分〔2〕表现曲边梯形的面积，而上半圆可看做专门曲边梯形〔有双方缩为点〕，这外面积易求，从而得出定积分的值。

触类旁通：【变式1】〔怀化二模〕定积分的值为〔〕A．B．C．πD．2π【谜底】∵，∴(x－1)2+y2=1表现以〔1，0〕为圆心，以1为半径的圆，∴定积分所围成的面积确实是该圆的面积的四分之一，∴定积分，应选：A变式2】应用定积分的几多何界说求定积分：〔1〕；　　〔2〕【谜底】〔1〕设，那么表现个圆，由定积分的不雅点可知，所求积分确实是圆的面积,因而〔2〕设，那么表现如图的曲边形，其面积,故.【变式3】【高清讲堂：定积分的不雅点385551例题】曾经明白甲、乙两车由统一同点同时动身,并沿统一道路〔假设为直线〕行驶．甲车、乙车的速率曲线分不为跟〔如以下图〕．那么对于图中给定的跟，以下推断中必定准确的选项是〔〕A.在时辰，甲车在乙车前面B.时辰后，甲车在乙车前面C.在时辰，两车的地位一样D.时辰后，乙车在甲车前面【谜底】A在时辰，显然甲的曲边图形的面积年夜于乙，因而甲车在前面，扫除C、D；在时辰，甲的曲边图形的面积分明年夜于乙，应选A.范例四、定积分界说跟性子的灵敏应用例4.将跟式表现为定积分剖析】∵总结升华】将跟式转化为积分方式的要害在于结构出定积分的界说结构，即触类旁通：【变式】试将跟式表现成定积分。

谜底】∵例5．应用定积分的性子，用定积分表现曲线y=x―2，x=y2所围成的立体地区的面积剖析】如以下图，曲线所围成的立体地区的面积S=SA1+SA2，A1：由，，x=1围成；A2：由，y=x―2，x=1跟x=4围成；∴；总结升华】应用定积分求立体图形面积时，可按以下步调进展：①绘图；②断定积分变量；③求交点，断定积分上、下限；④求定积分，得面积触类旁通：【变式1】直线x=0，y=0，x=2与曲线所围所的图形的面积用定积分表现为________变式2】〔会宁县校级模仿〕曲线与直线y=x―1及x=4所围成的封锁图形的面积用定积分表现为【谜底】令x=4，代入直线y=x－1得A〔4，3〕，同理得由，解得x=2，因而曲线与直线y=x－1交于点B〔2，1〕∴SABC=S梯形ABEF－SBCEF而∵∴封锁图形ABC的面积SABC=S梯形ABEF－SBCEF=4－。