曲线与方程.ppt

曲线和方程曲线和方程两两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是的方程是这就是说：这就是说：如果点如果点M(x0 ，，y0)是这条直线上的任意是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即即 x0 = y0，，那么它的坐标那么它的坐标(x0 ，，y0)就就是方程是方程 x-y=0 的解；的解；反过来，如果反过来，如果(x0 ，，y0)是方程是方程 x-y=0 的解，即的解，即x0 = y0，，那么以这个解为坐标那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上平分线上这样，我们就说这样，我们就说 x-y=0是这条直线的方程，是这条直线的方程，这条直线叫做方程这条直线叫做方程 x-y=0的直线试一试试一试说明圆心为说明圆心为P(a，，b)，半径等于，半径等于r的圆的方程是的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2(1)设设M(x0,y0)是圆上任意一点，因为点是圆上任意一点，因为点M到圆心的距离等于到圆心的距离等于r 所以所以 也就是也就是(x0-a)2+(y0-b)2=r2 即即(x0,y0)是方程是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解的解 (2)设设(x0,y0)是方程是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，则有的解，则有 (x0-a)2+(y0-b)2=r2两边开方取算术根，得两边开方取算术根，得 即点即点M(x0，，y0)到点到点P的距离等于的距离等于r，所以点，所以点M是这个圆上的点．是这个圆上的点． 由由(1)(2)可知，可知， (x-a)2+(y-b)2=r2是圆心为是圆心为P(a，，b)，，半径等于半径等于r的圆的方程．的圆的方程． 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上上的点与一个二元方程的点与一个二元方程 f(x，，y)=0的实数解建立了的实数解建立了如下的关系：如下的关系：（（1））曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标都是这个方程 的解；的解；（（2））以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做点，那么这个方程叫做曲线的方程曲线的方程；这条曲线；这条曲线叫做叫做方程的曲线（图形）方程的曲线（图形）。

说明：说明： （（1））“曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标都是这个方程 的解的解” ，，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外线上所有的点都符合这个条件而毫无例外（纯粹性）（纯粹性）.（（2））“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏漏（完备性）（完备性）.由由曲线的方程的定义可知，曲线的方程的定义可知， 如果曲线如果曲线C的方程是的方程是 f(x，，y)=0，，那么点那么点P0(x0 ，，y0)在在曲线曲线C 上的上的 充要条件是充要条件是f(x0，，y0)=0 .问题研讨问题研讨例例1判断下列结论的正误并说明理由判断下列结论的正误并说明理由 （（1））过点过点A（（3，，0））且垂直于且垂直于x轴的直线为轴的直线为x=3 （（2）到）到x轴距离为轴距离为2的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为y=2 （（3））到两坐标轴距离乘积等于到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为xy=1对错错例2证明：圆心为坐标原点，半径为5的圆的方程是并判断是否在圆上0xy55··变式训练：写出下列半圆的方程变式训练：写出下列半圆的方程yyy-5y5555555-5-5-5-500xxxx例例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是的点的轨迹方程是xy=±k.M条件甲：条件甲：““曲线曲线C C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程f(xf(x，，y)=0 y)=0 的解的解””，，条条件件乙乙：：““曲曲线线C C是是方方程程f f (x(x，，y)=0 y)=0 的的曲曲线线””，，则则甲甲是是乙乙的的( ( ) )(A)(A)充充分分非非必必要要条条件件                                              (B)(B)必要条件必要条件(C)(C)充充要要条条件件                                                          (D)(D)非充分也非必要条件非充分也非必要条件B若命题若命题““曲线曲线C C上的点的坐标满足方程上的点的坐标满足方程f(xf(x，，y)=0 y)=0 ””是是正确的，正确的，则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是( )( )(A)(A)方方程程f(xf(x，，y)=0 y)=0 所所表表示示的的曲曲线线是是C C                                              (B)(B)坐标满足坐标满足 f(xf(x，，y)=0 y)=0 的点都在曲线的点都在曲线C C上上(C)(C)方方 程程 f(xf(x，， y)=0y)=0的的 曲曲 线线 是是 曲曲 线线 C C的的 一一 部部 分分 或或 是是 曲曲 线线C C                                                            (D)(D)曲线曲线C C是方程是方程f(xf(x，，y)=0y)=0的曲线的一部分或是全部的曲线的一部分或是全部D例例2 设设A,B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段求线段AB的垂直平分线的方程。

的垂直平分线的方程ABlM(x,y)求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：（（1）建立适当的坐标系，用有序实数对）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲表示曲线上任意一点线上任意一点M的坐标；的坐标；（（2）写出适合条件）写出适合条件p的点的点M的集合的集合P={M︱︱p(M)};（（3）用坐标表示条件）用坐标表示条件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;（（4）化方程）化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；（（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上函数函数 y=ax2 的图象是的图象是关于关于 y 轴对称的抛物线轴对称的抛物线 .这条抛物线是所有以方程这条抛物线是所有以方程 y=ax2 的解为的解为坐标的点组成的坐标的点组成的.这就是说：这就是说： 如果点如果点M(x0 ，，y0)是抛物线上的点是抛物线上的点任意一点，那么任意一点，那么 (x0 ，，y0)一定是这个一定是这个方程的解；方程的解； 反过来，如果反过来，如果 (x0 ，，y0)是方程是方程 y=ax2 的解，那么以它为坐标的点一的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上。

定在这条抛物线上这样，我们就说这样，我们就说 y=ax2是这条抛物线的方程，是这条抛物线的方程，这条抛物线叫做方程这条抛物线叫做方程 y=ax2 的的抛物线。