13年高考真题——理科数学(四川卷).doc

2013年高考真题理科数学（解析版） 四川卷2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（四川卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1．设集合，，则（ ）（A） （B） （C） （D） 2．如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（ ） （A） （B） （C） （D） 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ） 4．设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，则（ ）（A） （B）（C） （D）5．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）（A） （B） （C） （D） 6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） （A） （B） （C）1 （D）7．函数的图象大致是（ ） 8．从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（ ） （A）9 （B）10 （C）18 （D）209．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）（A） （B） （C） （D） 10．设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在使得，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．二项式的展开式中，含的项的系数是____________用数字作答） 12．在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________ 13．设，，则的值是____________ 14．已知是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是____________ 15．设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”例如，线段上的任意点都是端点的中位点则有下列命题：①若三个点共线，段上，则是的中位点；②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是____________写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16．（本小题满分12分）在等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和 17．（本题12分）中，角对边分别为，且⑴求的值；⑵若，，求向量在方向上的投影 18．（本小题满分12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生。

⑴分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；⑵甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数以下是甲、乙所作频数统计表部分数据甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）运行次数的值为1的频数的值为2的频数的值为3的频数运行次数的值为1的频数的值为2的频数的值为3的频数301461030121172100102737669721001051696353当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；⑶按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出的值为2的次数的分布列及数学期望19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点⑴在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；⑵设⑴中的直线交于，交于，求二面角的余弦值 20．（本小题满分13分）已知椭圆：的两焦点分别为，且椭圆经过点⑴求椭圆的离心率；⑵设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程 21．（本小题满分14分）已知函数，其中是实数。

设，为该函数图象上的两点，且⑴指出函数的单调区间；⑵若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；⑶若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围2013年普通高校招生全国统考数学试卷四川卷解答一．ABDDA BCCCA二．11．10；12．2；13．；14．；15．①④16．解：设该数列公差为，前项和为，则，解得或当时，当时17．解：⑴由题得，即，故；⑵由得，故又，故，从而，因此，解得（舍负）所以向量在方向上的投影为18．解：⑴变量是在这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能当从这12个数中产生时，输出的值为1，故；当从这8个数中产生时，输出的值为2，故；当从这4个数中产生时，输出的值为3，故；的值为1的频率的值为2的频率的值为3的频率甲乙⑵当时，甲、乙所编程序各自输出的值为的频率如右表比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求可能性更大；⑶随机变量可能的取值为，且，，0123，因此的分布列如右表所示，且的期望 19．解：⑴如图，在平面内，过点作直线，因在平面外，在平面内，因此平面因，且为中点，故，从而因为平面，所以又因为、在平面内，且，故平面；⑵连接，过作于，过作于，连接。

由⑴知平面，故平面平面，因此平面，知所以平面，有，从而为二面角的平面角（设为）设，则由，，有，，又为中点，故为中点，且，因此在中，，在中，，知，，所以，从而20．解：⑴由题知，故又，故离心率；⑵由⑴知：，设，①当直线轴时，与交于两点，此时；②当直线不与轴垂直时，设：，则可设，，故，又，由得将代入的方程可得，故，，因此又，代入得由得，从而得，即因满足，故由题意在椭圆内，故又，故，所求方程为 21．解：⑴函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； ⑵因为，所以，由题可知，即，故，，因此，当且仅当即，时取等号所以所求最小值为1； ⑶当或时，显然，故易知点处的切线方程为即，点处的切线方程为即，故结合可知，且令，则，故为减函数，因此而当时，所以 - 3 - / 6。