项目五测量误差规律及数据精度指标.doc

项目五 测量误差规律及数据精度指标任务1 测量误差基本知识1．观测误差产生的原因观测值中存在观测误差有下列三方面原因：（1）观测者 由于观测者的感觉器官的鉴别能力的局限性，在仪器安置、照准、读数等工作中都会产生误差同时，观测者的技术水平及工作态度也会对观测结果产生影响2）测量仪器 测量工作所使用的测量仪器都具有一定的精密度，从而使观测结果的精度受到限制另外，仪器本身构造上的缺陷，也会使观测结果产生误差3）外界观测条件 外界观测条件是指野外观测过程中，外界条件的因素，如天气的变化、植被的不同、地面土质松紧的差异、地形的起伏、周围建筑物的状况，以及太阳光线的强弱、照射的角度大小等外界观测条件是保证野外测量质量的一个重要要素观测者、测量仪器和观测时的外界条件是引起观测误差的主要因素，通常称为观测条件观测条件相同的各次观测，称为等精度观测观测条件不同的各次观测，称为非等精度观测2.观测误差的分类观测误差按其性质，可分为系统误差、偶然误差和粗差1）系统误差 由仪器制造或校正不完善、观测员生理习性、测量时外界条件、仪器检定时不一致等原因引起在同一条件下获得的观测列中，其数据、符号或保持不变，或按一定的规律变化。

在观测成果中具有累计性，对成果质量影响显著，应在观测中采取相应措施予以消除2） 偶然误差 它的产生取决于观测进行中的一系列不可能严格控制的因素（如湿度、温度、空气振动等）的随机扰动在同一条件下获得的观测列中，其数值、符号不定，表面看没有规律性，实际上是服从一定的统计规律的随机误差又可分两种：一种是误差的数学期望不为零称为“随机性系统误差”；另一种是误差的数学期望为零黍为偶然误差这两种随机误差经常同时发生，须根据最小二乘法原理加以处理3）粗差 是一些不确定因素引起的误差，国内外学者在粗差的认识上还未有统一的看法，目前的观点主要有几类：一类是将粗差看用与偶然误差具有相同的方差，但期望值不同；另一类是将粗差看作与偶然误差具有相同的期望值，但其方差十分巨大；还有一类是认为偶然误差与粗差具有相同的统计性质，但有正态与病态的不同以上的理论均是建立在把偶然误差和粗差均为属于连续型随机变量的范畴还有一些学者认为粗差属于离散型随机变量3.偶然误差的特性当观测值中剔除了粗差，排除了系统误差的影响，或者与偶然误差相比系统误差处于次要地位后，占主导地位的偶然误差就成了我们研究的主要对象从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现其规律性，误差个数愈多，规律性愈明显。

在相同的观测条件下，对358个三角形的内角进行了观测由于观测值含有偶然误差，致使每个三角形的内角和不等于180°设三角形内角和的真值为X，观测值为L，其观测值与真值之差为真误差Δ用下式表示为： （i=1,2,…,358） （5-1）由（5-1）式计算出358个三角形内角和的真误差，并取误差区间为0.2″，以误差的大小和正负号，分别统计出它们在各误差区间内的个数V和频率V/n，结果列于表5-1表5－1 偶然误差的区间分布误差区间d△″正 误 差负 误 差合 计个数V频率V/n个数V频率V/n个数V频率V/n0.0～0.2450.126460.128910.2540.2～0.4400.112410.115810.2260.4～0.6330.092330.092660.1840.6～0.8230.064210.059440.1230.8～1.0170.047160.045330.0921.0～1.2130.036130.036260.0731.2～1.460.01750.014110.0311.4～1.640.01120.00660.0171.6以上000000 1810.5051770.4953581.000从表5-1中可看出，最大误差不超过1.6″，小误差比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数近于相等。

通过大量实验统计结果证明了偶然误差具有如下特性：1 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，2 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大，3 绝对值相等的正误差与负误差出现的机会相等，4 当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零即 （5-2）任务2 观测数据精度指标1．中误差在等精度观测列中，各真误差平方的平均数的平方根，称为中误差，也称均方误差，即 （5-3）【例】 设有两组等精度观测列，其真误差分别为第一组 -3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″；第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″试求这两组观测值的中误差解：比较m1和m2可知，第一组观测值的精度要比第二组高必须指出，在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，虽然各真误差彼此并不相等，有的甚至相差很大，但它们的精度均相同，即都为同精度观测值2．容许误差由偶然误差的第一特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。

这个限值就是容许误差或称极限误差此限值有多大呢？根据误差理论和大量的实践证明，在一系列的同精度观测误差中，真误差绝对值大于中误差的概率约为32%；大于2倍中误差的概率约为5%；大于3倍中误差的概率约为0.3%也就是说，大于3倍中误差的真误差实际上是不可能出现的因此，通常以3倍中误差作为偶然误差的极限值在测量工作中一般取2倍中误差作为观测值的容许误差，即Δ容=2m （5-4）当某观测值的误差超过了容许的2倍中误差时，将认为该观测值含有粗差，而应舍去不用或重测3．相对误差对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全反映观测精度的高低例如，分别丈量了100m和200m两段距离，中误差均为±0.02m虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同，后者显然优于前者为了客观反映实际精度，常采用相对误差观测值中误差m的绝对值与相应观测值S的比值称为相对中误差它是一个无名数，常用分子为1的分数表示，即 （5-5） 上例中前者的相对中误差为，后者为，表明后者精度高于前者对于真误差或容许误差，有时也用相对误差来表示。

例如，距离测量中的往返测较差与距离值之比就是所谓的相对真误差，即 （5-6）与相对误差对应，真误差、中误差、容许误差都是绝对误差 任务3误差传播定律1. 误差传播定律在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律1）倍数函数设有函数 （5-7）式中k为常数，x为直接观测值，其中误差为mx，现在求观测值函数Z的中误差mZ设x和Z的真误差分别为Δx和ΔZ，由（5-7）式知它们之间的关系为ΔZ=kΔx若对x共观测了n次，则 （i=1, 2,…, n）将上式两端平方后相加，并除以n，得 （5-8）按中误差定义可知所以（5-8）式可写成或 （5-9）即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数（常数）例】 用水平视距公式D=k·l求平距，已知观测视距间隔的中误差ml=±1cm，k=100，则平距的中误差mD=100·ml=±1 m。

2）和差函数设有函数 （5-10）式中x、y为独立观测值，它们的中误差分别为mx和my，设真误差分别为Δx和Δy，由（5-10）式可得若对x、y均观测了n次，则 将上式两端平方后相加，并除以n得上式中各项均为偶然误差根据偶然误差的特性，当n愈大时，式中最后一项将趋近于零，于是上式可写成 （5-11）根据中误差定义，可得 （5-12）即观测值和差函数的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和例】 在ΔABC中，∠C=180°－∠A－∠B，∠A和∠B的观测中误差分别为3″和4″，则∠C的中误差3）线性函数设有线性函数 z=k1x1±k2x2±···±knxn （5-13） 式中x1、 x2、…、xn为独立观测值，k1、 k2、…、kn为常数，则综合（5-9）式和（5-12）式可得mz2=(k1m1)2＋(k2m2)2+···+ (knmn)2 （5-14）【例】 有一函数，其中x1、x2、x3的中误差分别为±3mm、±2mm、±1mm，则。