量子力学导论11章答案.doc

1第十一章 量子跃迁11—1）荷电 的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动） 受到光照射而发生跃迁设照射光的能量密度为q，波长较长求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率11—2）氢原子处于基态收到脉冲电场的作用 使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然tt0处于基态的几率（取 沿 轴方向来计算） 0z解：令 （6）ntiEnnertCtrh,初始条件（5）亦即 （5）1n用式（6）代入式（4） ，但微扰项 中 取初值 （这是微扰论的实质性要点！）即得'H1tzeedtCintiEn 101'hh以 左乘上式两端并全空间积分，得*n hhtiEnn netzedti 10再对 积分，由 ，即得（7）10nnzietCh因此 时（即脉冲电场作用后）电子已跃迁到 态的几率为[可直接代入 P291 式（23） 、P321 式（15）而得0t n下式]（8）2102nnzetCPh根据选择定则 ，终态量子数必须是,1ml0n即电子只能跃迁到各 态 ，而且磁量子数 。

pl 0m跃迁到各激发态的几率总和为（9）nnn zezeP212021'20' hh其中 （ 为奇宇称）11z Q2（10）nnn zz1121212123arz为 Bohr 半径，代入式（9）即得a（11）20' haePn电场作用后电子仍留在基态的几率为（12）20'1en11—3）考虑一个二能级体系，Hamilton 量 表为（能量表象）0H, ,210EH21设 时刻体系处于基态，后受微扰 作用，0t ','求 时刻体系处于激发态的几率t解： 时，体系 ，其矩阵表示（ 表象）为0'0H0H（1）21'0E设 的本征函数为 H（2）2121CE代入本征方程 （3）E得到（4）02211C上式存在非平庸解的条件为 022121  EEE由此解出 （5） 2121 4令 ， ， （6）h1Eh2123式（5）可以写成 （5’）22142hhE当 ，由式（4）求得E12224CC取 ，即得相应的能量本征函数（未归一化）为1（7）2214hhE当 ，类似可求得E（8）2214hhE时，体系的初始状态为0t（9）EEt 201其中 （10）4h因此 时波函数为0t（11） htiEtiEeet 22以式（5’） 、 （7） 、 （8）代入上式，即得（12） titi etititt 21211 snsncos   体系处于 态的几率为2（13）2sin2tth11—4）自旋为 的粒子，磁矩为 ，处于沿 轴方向的常磁场 中，初始时刻粒子自旋向下 。

后来1uz0B1z加上沿 轴方向的常磁场 求 时刻粒子测得自旋向上的几率 （磁矩算符 ，与外磁场的的作x1B0t u用 ）.' zxuH解：粒子的磁矩算符可表示成 （1）u为泡利算符，磁场对粒子的作用势为（2）.01' zxBH4在 表象中， 的矩阵表示为zH（2’）01011BuuB以下求 的本征值和本征函数，设本征函数为（3）21210CC本征方程为 ，则EH（4）212101EBu能级方程为 （5）0det110uHE令 ， ， （6）0huBu210由式（5）容易解出 （7）h将 之值代回式（4） ，即可求出如下本征函数：E（8） 01012121 CCEh注意，这两个本征函数并未归一化。

将 时的初始波函数按能量本征函数展开，0t（9）21t因此， 时波函数ttitie21（10）10sincos0sin01 ttt注意 满足归一化条件 t t在时刻 ，测得粒子自旋“向上” 的几率为zttiPz 2121sinsn5（11）2120210sintBuBh本题可以视为 11—3）题的一个实例。