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含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按一、按x项的系数项的系数a的符号分类，即的符号分类，即a  0,a  0,a  0; ;例例 1 1解不等式：ax a  2x 1 022分析：分析：本题二次项系数含有参数， a  2 4a  a  4  0，故只需对二次项2【22解解：∵ a  2 4a  a  4  02系数进行分类讨论 a  2a2 4a2a24, x2解得方程ax a  2x 1 0两根x12a2a2 a  2a2 4 a  2a2 4或x ∴当a  0时,解集为x | x 2a2a当a  0时，不等式为2x1 0,解集为x | x -12 a  2a2 4 a  2a2 4 x 当a  0时, 解集为x |2a2a例例 2 2 解不等式ax 5ax  6a  0a  02分析分析因为a  0，  0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解解a(x 5x  6)  ax  2x 3 02当a  0时，解集为x | x  2或x  3；当a  0时，解集为x | 2  x  3`变式：解关于x的不等式1、(x2)(ax2)  0；2、(1－ax)2<1.2 x  2}a(2)当a  0时,{x | x  2}(1)当a  0时,{x |2(3)当0  a 1时,{x | x  2,或x }a(4)当a 1时,{x | x  2}2(5)当a 1时,{x | x ,或x  2}a【解】【解】由由(1(1－－axax) )2 2<1<1得得a a2 2x x2 2－－2 2axax＋＋1<1.1<1.即即axax( (axax－－2)<0.2)<0.(1)(1)当当a a＝＝0 0时，不等式转化为时，不等式转化为0<00<0，故原不，故原不等式无解．等式无解．(2)(2)当当 a a<0<0 时，时，不等式转化为不等式转化为 x x( (axax－－2)>02)>0，，2 2即即 x x( (x x－－ )<0.)<0.a a2 22 2∵∵ <0<0，，∴∴不等式的解集为不等式的解集为 { {x x| |a aa a< 0>0时，时， 不等式转化为不等式转化为 x x( (axax－－2)<02)<0，，3、ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)又又 >0>0，，a a2 2∴∴不等式的解集为不等式的解集为{ {x x|0<|00>0 时，不等式解集为时，不等式解集为{ {x x|0<|0

解：解：∵  a 16(222∴当a 4,4即  0时，解集为R；当a  4即Δ＝0 时，解集为x xR且x a；2 a a216 a a216当a  4或a  4即  0,此时两根分别为x1，x2，显然x1 x2,22a a216a a216∴不等式的解集为x x 或x〈22\ \例例 4 4 解不等式m 1 x  4x 1 0m R22解解 因m 1 0,   (4)  4 m 1  4 3 m2222所以当m   3，即  0时，解集为x | x 1；223m223m2当3  m 3，即  0时，解集为x x 或x〈2m 1m21当m   3或m }；3，即  0时，解集为 R变式：解关于x的不等式：ax2 x1 01 14a1 14a,或x }2a2a(2)当a  0时， {x| x  1}(1)当a  0时， {x| x 11 14a1 14a(3)当0  a 时， {x| x }42a2a1(4)当a 时，4三、按方程三、按方程ax bx  c  0的根的根x1,x2的大小来分类，即的大小来分类，即x1 x2,x1 x2,x1 x2；；> >21)x 1 0 (a  0)a1分析：分析：此不等式可以分解为：x  a(x )  0，故对应的方程必有两解。

本题a例例 5 5解不等式x (a 2只需讨论两根的大小即可解：解：原不等式可化为：x  a(x ∴当a  1或0  a 1时，a …11)  0，令a ，可得：a  1aa1；a1，故原不等式的解集为x | a  x a当a 1或a  1时，a 1,可得其解集为；a11,解集为x | x  aaa当1 a  0或a 1时,a 例例 6 6 解不等式x 5ax  6a  0，a  022分析分析 此不等式 5a 24a a 0，又不等式可分解为x  2a(x 3a)  0，故只需比较两根2222a与3a的大小.解解 原不等式可化为：x  2a(x 3a)  0，对应方程x  2a(x 3a)  0的两根为$ $x1 2a,x2 3a，当a为x| x  2a或x 3a变式：1 1、、x20时，即2a3a，解集为x | x  3a或x  2a；当a  0时，即2a3a，解集(aa2)xa302、x2 ax  2a2 0解：解：∵x2－（a+a2）x+a3＝（x－a） （x－a2）∴当 a>1，或 a<0 时，不等式的解为 a

（2549 a ]916【解析】【解析】不等式可化为不等式可化为 (4(4－－a a) )x x2 2－－4 4x x＋＋1 1＜＜0 0①，由于原不等式的解集中的整数恰有①，由于原不等式的解集中的整数恰有3 3 个，所以个，所以4a  011111 x ，解得，解得0 0＜＜a a＜＜4 4，故由①得，故由①得，又，又，所以解集中的，所以解集中的42a22a2a 164(4a)  03 3 个整数必为个整数必为 1,2,31,2,3，所以，所以 3 3＜＜12a≤≤4 4，解得，解得2549＜＜a a≤≤916。