江苏苏教版学海导航高中新课标总复习第轮文数第讲函数的奇偶性与周期性.ppt

函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断  在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件， 一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的； 二是判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立，这样能简化运算． 如本题中(4)，判断f(x)＋f(－x)＝0是否成立，要方便得多．本题(3)是分段函数判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用  抓住奇函数的定义或特殊性质，是解决此类问题的重要法宝． 函数的周期性函数的周期性 【例3】偶函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当x∈[－ 3， － 2]时 ， f(x)＝ 2x， 求f(116.5)的值． 【解析】因为f(x＋6)＝f[3＋(x＋3)]＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝6.又116.5＝19×6＋2.5，所以f(116.5)＝f(2.5)＝f(－2.5)＝2×(－2.5)＝－5. 求周期函数的函数值，要根据函数的周期性，将自变量的范围转化到已知区间上，利用已知区间上函数的表达式求函数值． 【变式练习2】已知函数f(x)(x∈R)的图象经过原点，且f(x＋2)＝f(x＋5)，求f(2010)的值． 【解析】令u＝x＋2，得x＝u－2，则f(u)＝f(u＋3)，所以函数f(x)的周期为3.依题意，f(0)＝0，且2010＝670×3，所以f(2010)＝f(0)＝0.函数的奇偶性、函数的奇偶性、周期性的综合周期性的综合  在抽象函数讨论中，函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性是紧密联系在一起的，如偶函数具有对称轴x＝a(a>0)，则一定是周期函数．因为图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(a－x)＝f(a＋x)成立，所以f(2a＋x)＝f[a＋(a＋x)]＝f[a－(a＋x)]＝f(－x)＝f(x)，所以周期为2a.【变式练习4】f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋3)＝f(3－x)．若x∈(0,3)时，其解析式为y＝x2＋1，求x∈(－6，－3)时，函数f(x)的解析式．【解析】因为f(x)在R上是奇函数，所以f(6＋x)＝f[3＋(3＋x)]＝f[3－(3＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋6)．当x∈(－6，－3)时，x＋6∈(0,3)，所以f(x＋6)＝(x＋6)2＋1，则f(x)＝－x2－12x－37(x∈(－6，－3))．1.若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝_________【解析】由f(－1)＝f(1)，得0＝2(1－a)，所以a＝1. 1【解析】定义域是R，关于原点对称，且f(x)＋f(－x)＝0，故为奇函数． 奇3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________【解析】方法1：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0.方法2：因为f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．又因为f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.04.已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋log2x，求函数f(x)的解析式． 5.已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)． 1．函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于原点对称；二要看f(x)与f(－x)的关系． 2．判断函数奇偶性的方法一般有两种：一是定义法，步骤：看定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；若对称，则看解析式能否化简，能够化简的，一定要化简解析式；看f(x)与f(－x)的关系，可以直接观察，也可以用定义的变形式；二是图象法，作出图象，根据图象的对称性得出结论，一般分段函数的奇偶性的判断多用图象法．  3．奇函数f(x)如果在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0，即奇函数的图象若与y轴有交点，则交点一定是原点． 4．如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则这个函数的函数值恒为0，且定义域关于原点对称． 5．函数的周期性亦是函数在其定义域上的整体性质，它反映了函数值周期变化的规律．值得注意的是周期函数不一定存在最小正周期．注意以下几个常用结论：1．(2010·泰州市第一次联考卷)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)＋f(－2)＝2，则f(2)－f(3)＝________.【解析】由f(3)＋f(－2)＝2得－f(3)－f(－2)＝－2，由奇函数定义得f(2)－f(3)＝－2.答案：－2选题感悟：函数的奇偶性是函数的重要性质，要准确理解和熟练掌握函数奇偶性的定义．2．(2010·南京二模卷)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是________________．3．(2010·金陵中学期中卷)已知周期函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的最小正周期为3，f(1)<2，f(2)＝m，则m的取值范围为________．答案：(－2，＋∞)选题感悟：函数的性质是每年高考的热点，这类问题能全面考查考生对函数概念的理解及性质的代数推理、论证能力． 。