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二重积分习题课二重积分习题课（二）二重积分的计算（二）二重积分的计算 1 、直角坐标系中直角坐标系中(1) 积分区域积分区域D的类型：的类型：X—型区域，型区域，Y—型区域型区域,一般区域分划一般区域分划o a b xyDyoxdc 积分区域的不等式表示的是二重积分化为二积分区域的不等式表示的是二重积分化为二次积分确定积分限的基本依据次积分确定积分限的基本依据 (2) 积分顺序的确定积分顺序的确定 先积先积y还是先积还是先积x，要结合被积函数，要结合被积函数f (x,y)及积及积分区域两个方面的特点加以考虑分区域两个方面的特点加以考虑 如仅从积分区域的特点看，如仅从积分区域的特点看，D是是X —型区域时先型区域时先积积y；；D是是Y —型区域先积型区域先积x 首先是首先是“能积出能积出”，其次是，其次是“易积出易积出” D既是既是X —型区域又是型区域又是Y —型区域时型区域时,选择不需选择不需分块或分块较少的积分顺序分块或分块较少的积分顺序 o a b xyDyoxdc (3) 交换积分顺序交换积分顺序2、利用极坐标计算二重积分、利用极坐标计算二重积分 由由所所给给的的二二次次积积分分的的顺顺序序及及积积分分限限，，确确定定积积分分区区域域 D（（画画出出图图形形）），，再再按按新新的的积积分分顺顺序序将将D用新的不等式表出，即定出新的积分限。

用新的不等式表出，即定出新的积分限 (1) 积分顺序通常是先积分顺序通常是先 (2) D的极坐标表示的极坐标表示  如如D的的边边界界是是由由直直角角坐坐标标方方程程:y =f (x) 给给出出，，通通常常可可从从几几何何意意义义去去确确定定D的的极极坐坐标标表表示示（（图图形形是重要的）或利用是重要的）或利用 OADoAD（三）有关二重积分的对称性的应用（选讲）（三）有关二重积分的对称性的应用（选讲）1、若、若D关于关于y轴对称轴对称其中其中D1是是D的右半区域的右半区域 即当即当(x,y)∈∈D时，必有时，必有( x,y) ∈∈D，则，则2、若、若D关于关于x轴对称轴对称D1是是D的上半部分区域的上半部分区域 即当即当(x,y)∈∈D时，必有时，必有(x,  y) ∈∈D，则，则3、若、若D关于原点对称，关于原点对称，即当即当(x,y) D时，必有时，必有(  x, y)  D，则，则其中其中D1是是D的上半部分（或右半部分）区域的上半部分（或右半部分）区域（四）有关二重积分的一些证明题（四）有关二重积分的一些证明题4、若、若D关于直线关于直线 y =x对称，对称，即当即当(x,y)∈∈D时，必有时，必有(y,x)∈∈D，则，则 中值定理、变上限积分、换元等中值定理、变上限积分、换元等 例例1 1解解X-型型二二二二. . . .典型例题典型例题典型例题典型例题解解 D的图形如右。

的图形如右应先积应先积y例例例例3 3 计算积分计算积分解：因为解：因为 的原函数不是初等函数，的原函数不是初等函数，故只能交换积分次序积分区域如右图：故只能交换积分次序积分区域如右图：yx123解解 由上知区域的表达式为：由上知区域的表达式为：积分区域如图所示：积分区域如图所示：例例5 5交换积分次序：交换积分次序：解解原式原式=解解例7. 计算二重积分计算二重积分其中:(1) D为圆域(2) D由直线解解: (1) 利用对称性.围成 .(2) 积分域如图积分域如图:将D 分为添加辅助线利用对称性 , 得例例8 8先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图解解例例9 9 证证。