函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性).doc

函数的性质〔奇偶性、单调性、周期性、对称性〕"定义域优先〞的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-*)与f(*)之间的关系：①f(-*)=f(*)为偶函数；f(-*)=-f(*)为奇函数；②f(-*)-f(*)=0为偶；f(*)+f(-*)=0为奇；③f(-*)÷f(*)=1是偶；f(*)÷f(-*)=-1为奇函数.〔1〕假设定义域关于原点对称〔2〕假设定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：在上不是奇函数常用性质：1．是既奇又偶函数； 2．奇函数假设在处有定义，则必有； 3．偶函数满足； 4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；5．除外的所有函数的奇偶性满足：〔1〕奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 〔2〕 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。

2. 单调性定义：函数定义域为A，区间，假设对任意且①总有则称在区间M上单调递增②总有则称在区间M上单调递减应用：〔一〕常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：〔1〕设值〔2〕作差〔3〕变形〔4〕定号〔5〕结论〔二〕求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学)注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性一样（2） 偶函数在对称区间上的单调性相反（3） 复合函数单调性-------同增异减 3. 周期性〔1〕一般地对于函数，假设存在一个不为0的常数T，使得内一切值时总有，则叫做周期函数，T叫做周期，kT〔T的整数倍〕也是它的周期〔2〕如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期注：常用结论〔1〕假设，则是周期函数，是它的一个周期〔自己证明〕〔2〕假设定义在R上的函数y = f (*) 图像同时关于直线* = a 和直线* =b成轴对称 〔a≠b〕，则y = f (*)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期〔自己证明〕〔推论〕假设定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期〔3〕假设；；；则是周期函数，2是它的一个周期4．对称性一、函数自身的对称性定理1.函数 y = f (*)的图像关于点A (a,b)对称的充要条件是 f (*) + f (2a－*) = 2b f(a-*)+f(a+*)=2b证明：〔必要性〕设点P(*,y)是y = f(*)图像上任一点，∵点P(*,y)关于点A (a,b)的对称点P〔2a－*，2b－y〕也在y = f(*)图像上，∴ 2b－y = f (2a－*) 即y + f (2a－*)=2b故f(*) + f (2a－*) = 2b，必要性得证。

〔充分性〕设点P(*0,y0)是y = f(*)图像上任一点，则y0= f(*0)∵ f(*) + f (2a－*) =2b∴f(*0) + f (2a－*0) =2b，即2b－y0 = f (2a－*0) 故点P〔2a－*0，2b－y0〕也在y = f(*) 图像上，而点P与点P关于点A (a,b)对称，充分性得证推论：函数 y = f (*)的图像关于原点O对称的充要条件是f (*) + f (－*) = 0定理2. 函数 y = f (*)的图像关于直线* = a对称的充要条件是 f (a +*) = f (a－*) 即f(*) = f (2a－*) 〔证明留给读者〕推论：函数 y = f (*)的图像关于y轴对称的充要条件是f (*) = f (－*)定理3函数 y = f (*)的图像关于直线* = a对称的充要条件是 f (a +*) = f (a－*) 或 f(*) = f (2a－*) 定理4.假设函数y = f (*) 图像同时关于直线* = a 和直线* =b成轴对称 〔a≠b〕，则y = f (*)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

二．不同函数对称性定理5. 函数y = f (a+*)与y = f (b－*)的图像关于直线* = (b-a)/2成轴对称定理6. 互为反函数的两个函数关于直线y=*对称【典型例题】[例1] 判断以下函数奇偶性〔1〕〔且〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕解：〔1〕且∴奇函数〔2〕，关于原点对称∴奇函数〔3〕，关于原点对称∴既奇又偶〔4〕考虑特殊情况验证：；无意义；∴非奇非偶〔5〕且，关于原点对称∴为偶函数[例2]〔1〕，为何值时，为奇函数；〔2〕为何值时，为偶函数答案：〔1〕〔恒等定理〕∴时，奇函数〔2〕∴〔恒等定理〕∴∴稳固：定义域为的函数是奇函数〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假设对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解析：〔Ⅰ〕简 解：取特殊值法因为是奇函数，所以=0，即又由f〔1〕= - f〔-1〕知〔Ⅱ〕解法一：由〔Ⅰ〕知，易知在上为减函数又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：．即对一切有：，从而判别式[例3] 求函数的解析式〔1〕为R上奇函数，时，，解：时，∴∴〔2〕为R上偶函数，时，解：时，∴[例4] 求以下函数的增区间〔1〕〔2〕答案：〔1〕，∴〔2〕作图∴[例5]假设在区间，求取值范围。

答案：分类讨论〔1〕①当在区间，符合题意②当时，要在区间，则有∴ [例6] ，为偶函数，试比拟的大小关系解：∵为偶函数∴则函数关于直线*=2对称∵在〔0，2〕∴(提示：看离对称轴的远近)[例7] 为偶函数，，假设，求取值范围解：∴[例8] 求以下函数是否为周期函数〔1〕，满足〔2〕，满足〔3〕，满足〔4〕，满足答案：〔1〕令∴∴∴ T=2周期函数〔2〕∴ T=4周期函数〔3〕∴ T=4〔4〕∴ T=8 [例9] ，偶函数，周期函数，T=2，，，则，求当时，答案：[例10] ，偶函数，奇函数，则答案：奇偶∴∴∴奇∴稳固例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+*)为偶函数，且f (5－*) = f (5+*),则f (*)一定是〔 〕 (A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数解：∵f (10+*)为偶函数，∴f (10+*) = f (10－*).∴f (*)有两条对称轴 * = 5与* =10 ，因此f (*)是以10为其一个周期的周期函数，∴* =0即y轴也是f (*)的对称轴，因此f (*)还是一个偶函数。

应选(A)例2：设定义域为R的函数y = f (*)、y = g(*)都有反函数，并且f(*－1)和g-1(*－2)函数的图像关于直线y = *对称，假设g(5) = 1999，则f(4)=〔 〕 1999； 〔B〕2000； 〔C〕2001； 〔D〕2002 解：∵y = f(*－1)和y = g-1(*－2)函数的图像关于直线y = *对称，∴y = g-1(*－2) 反函数是y = f(*－1)，而y = g-1(*－2)的反函数是:y = 2 + g(*),∴f(*－1) = 2 + g(*),∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001故f(4) = 2001,应选〔C〕例3.设f(*)是定义在R上的偶函数，且f(1+*)= f(1－*),当－1≤*≤0时，f(*) = －*，则f(8.6 ) = _________解：∵f(*)是定义在R上的偶函数∴* = 0是y = f(*)对称轴；又∵f(1+*)= f(1－*) ∴* = 1也是y = f(*) 对称轴故y = f(*)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6 ) = f(8+0.6 ) = f(0.6 ) = f(－0.6 ) = 0.3例4. 设f(*)是定义在R上的奇函数，且f(*+2)= －f(*),当0≤*≤1时，f(*) = *，则f(7.5 ) = 〔 〕(A) 0.5(B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5解：∵y = f(*)是定义在R上的奇函数，∴点〔0，0〕是其对称中心； 又∵f(*+2 )= －f(*) = f(－*)，即f(1+ *) = f(1－*)，∴直线* = 1是y = f(*) 对称轴，故y = f(*)是周期为2的周期函数。

∴f(7.5 ) = f(8－0.5 ) = f(－0.5 ) =－f(0.5 ) =－0.5 应选(B)【作业】1. 两位学生在思考一个开放题"满足的点称为函数的不动点，请你构造一个分段函数，使其具有无数个不动点，这些不动点构成一个公比不为1的等比数列〞两位学生分别构造了一个函数〔〕：①②请你判断，正确的结论是〔〕    A. ①②都对    B. ①对②错    C. ①错②对    D. ①②都错2. 函数与的图像关于〔〕A. y轴对称                         B. 原点对称C. 直线*=1对称                D. 关于y轴对称且关于直线*=1对称3. 假设函数在〔〕上是减函数，则的取值范围是〔〕    A.     B.     C.     D. 4. 函数在〔〕上存在，使，则的取值范围是〔〕    A.     B.     C. 或    D. 5. 假设，则它们的大小关系为〔〕A.     B.     C.     D. 6. 如下图，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A—B—C—M运动时，以点P经过的路程为自变量，三角形APM的面积函数的图像形状大致是〔〕7. 函数〔〕A. 在〔1，〕内单调递增                        B. 在〔1，〕内单调递减C. 在〔〕内单调递增                         D. 在〔〕内单调递减8. 函数的定义域为[]，值域为，其反函数为，则的〔〕A. 定义域为，值域为B. 定义域为，值域为C. 定义域为，值域为D. 定义域为，值域为9. 函数的图象是由函数的图像平移而得到的，如下图，则的值是〔〕A.                             B. C.                                  D. 10. 是偶函数，则图像的对称轴是〔〕    A.     B.     C.     D. 11. 对任意，有，时，，则〔〕    A.     B.     C.     D. 12. 方程的两个根均大于1，则的取值范围为〔〕    A.     B.     C.     D. 13. 假设函数的图像与函数的图像关于直线对称，则〔〕A.                  B. C.                  D. 14. 把长为12c。