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微积分学，无穷级数论和作为理论基础的微积分学，无穷级数论和作为理论基础的极限理论极限理论我们这门课程叫高等数学，它的内容我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元和多元包括一元和多元，以及作为一元微积分学的简，以及作为一元微积分学的简单应用单应用——常微分方程由于构成它的主体是常微分方程由于构成它的主体是一元函数微积分学，所以有时又称为微积分一元函数微积分学，所以有时又称为微积分 17世纪（世纪（1763年）年）Descartes建立了解析几建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学微积分是进一步发展到研究变量的高等数学微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系间的依赖关系——函数的一门学科，是学习其函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础它自然科学的基础1. 高等数学研究的主要对象是函数，主要研究高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。

那析运算（极限运算、微分法、积分法等）那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法从方法就是极限方法，也称为无穷小分析法从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志的一个显著标志 由于高等数学的研究对象和研究方法与初由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：下显著特点：概念更复杂概念更复杂理论性更强理论性更强表达形式更加抽象表达形式更加抽象 推理更加严谨推理更加严谨2. 因此在学习高等数学时，应当认真阅读和因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。

培养抽象思维和逻辑推理的能力 学习数学，必须做一定数量的习题，做习学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法但我们不应该仅仅满足于做题，更不能方法但我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学认为，只要做了题，就算学好了数学3. 高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂因此很好地理精华所在，是高等数学的灵魂因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯4.参参 考考 书书 目目＜工科数学分析基础＞＜工科数学分析基础＞马知恩马知恩 等编等编 （高教出版社）（高教出版社）＜高等数学释疑解难＞＜高等数学释疑解难＞工科数学课委会编（高教出版社）工科数学课委会编（高教出版社）＜高等数学＞＜高等数学＞盛祥耀盛祥耀 等编（清华大学出版社）等编（清华大学出版社）＜高等数学解题方法及同步训练＞＜高等数学解题方法及同步训练＞同济大学编（同济大学出版社）同济大学编（同济大学出版社）5. 第一章第一章 函数与极限函数与极限6.§1.1 函函 数数1.集合集合集合集合(简称集简称集): 集合是指具有某种特定性质的集合是指具有某种特定性质的事物的总体。

集合用事物的总体集合用A，，B，，M等表示元素元素: 组成集合的事物称为集合的元素组成集合的事物称为集合的元素a 是集是集合合M的元素表示为的元素表示为a M集合的表示集合的表示: (1) A={a, b, c, d, e, f, g} (2) M={(x, y) | x，，y为实数，为实数，x2+ +y2 =1}一、集合及其运算一、集合及其运算7. 几个数集几个数集: R表示所有实数构成的集合，称为表示所有实数构成的集合，称为实数集实数集 Q表示所有有理数构成的集合，称表示所有有理数构成的集合，称为有理集为有理集 Z表示所有整数构成的集合，称为表示所有整数构成的集合，称为整数集整数集 N表示所有自然数构成的集合表示所有自然数构成的集合, 称为称为自然数集自然数集 子集子集: 若若x A，，则必有则必有x B，，则称则称A是是B 的的子集子集, 记记为为A B（（读作读作A包含于包含于B） 显然，显然，N   Z ，，Z   Q ，，Q   R 。

8.2. 区间区间: 数集数集{x|a<

设设 >0，则称区间，则称区间(a  , a+ + )为点为点a 的的 邻域，记作邻域，记作U(a,  )，，即即 U(a,  )  {x|a  

内的任意值 由落体下落距离的计算公式为由落体下落距离的计算公式为s   gt2，，t可取可取[0, T]内的任意值内的任意值12 圆内接正圆内接正n边形的周长的计算公式为边形的周长的计算公式为 Sn 2nr sin   ，， n可取可取3，，4，，5，，      p pn14.3. 函数的定义函数的定义 设设 D 是一个给定的数集如果对于每个数是一个给定的数集如果对于每个数x D，，变量变量 y 按照一定法则总有确定的数值和按照一定法则总有确定的数值和x对应，则称对应，则称 y 是是 x 的函数，记作的函数，记作y f(x) 定义中，数集定义中，数集D叫做这个函数的定义域，叫做这个函数的定义域， x叫做自变量，叫做自变量，y叫做因变量叫做因变量 函数符号函数符号: 函数函数y f(x)中表示对应关系的记号中表示对应关系的记号f 也可改也可改用其它字母，用其它字母，例如例如j j 、、F 等等此时函数就记作此时函数就记作y j j( (x)，，y=F(x)15. 值域：值域：Rf={y | y=f(x),x D}。

定义域：定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数这时约定函而抽象地研究用算式表达的函数这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值函数值：函数值： 任取任取 x D，与，与 x对应的对应的 y的数值称为函数的数值称为函数 y f(x)在点在点 x处的函数值，记为处的函数值，记为 f(x)16.求函数的定义域举例：求函数的定义域举例： 解解: 要使函数有意义要使函数有意义, 必须必须x 0, 且且x2 4 0解不等式得解不等式得|x| 2 函数的定义域为函数的定义域为 D {x| |x| 2}, 或或D (  , -2] [2, + + )17.4. 函数的图形函数的图形 在坐标系在坐标系xOy内，集合内，集合 C {(x, y) | y f(x)，，x D}所对应的图形称为函数所对应的图形称为函数y f(x)的图形。

的图形O yxC(x, y)xyRfDy=f(x)18. 如果自变量在定义域内任取一个数值时，如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值只有一个，这种函数叫做单值对应的函数值只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数函数，否则叫做多值函数 以后凡是没有特别说明时，函数都是指单以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数5. 函数举例函数举例 例例1. 在直角坐标系中，由方程在直角坐标系中，由方程x2+ +y2 r2确确定了一个函数定了一个函数 对于任意对于任意x ( r, r)，，对应的函数值有两个：对应的函数值有两个： 22xry   及及y =22xr  19. 例例2. 函数函数 y 2 函数的定义域为函数的定义域为D   (  , + + ) 函数的值域为函数的值域为Rf  {2} 函数的图形为一条平行于函数的图形为一条平行于x 轴的直线轴的直线yOxy= =2220. 函数的定义域为函数的定义域为D (  , + )。

函数的值域为函数的值域为Rf  [0, +  )yxOy |x|　　 x, x 0  x, x<0 y |x| 称为绝对值函数称为绝对值函数 例例3. 函数函数21. 函数的定义域为函数的定义域为D (  , + ) 函数的值域为函数的值域为Rf  { 1, 0, 1} O xy21-1-2y = sgn x 1, 当当x>0 0, 当当x 0 1, 当当x<0 例例4. 函数函数 y   sgn x   称为符号函数称为符号函数 22.例例5.5.函数函数y=[x]称为取整函数称为取整函数, ,任给任给x, , [x]取值取值为不超过为不超过x的最大整数的最大整数, 即即x -1<[x] ≤ x 函数的定义域为函数的定义域为D (  , + )，， 函数的值域为函数的值域为Rf  Z-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 xy54321-1-2-3-4-5 y [x]23. 函数的定义域为函数的定义域为 D [0, 1] (1, + + ) [0, + )。

f (3)   1+ +3   4xy = 2y = 1+xy = f(x)y321O 1 2 3 x24.三、函数的几种简单特性三、函数的几种简单特性图形特点图形特点：： y f(x)的图形在的图形在直线直线y K1的下方y=K1y=f(x)Oxy1. 函数的有界性函数的有界性 设函数设函数f(x)在数集在数集X上有定义如果存在数上有定义如果存在数K1，，使对任一使对任一x X，，有有f(x) K1，，则称函数则称函数f(x)在在X上上有上界有上界，而称，而称K1为函数为函数 f(x)在在X上的一个上的一个上界25. 如果存在数如果存在数K2，，使对任一使对任一x X，，有有f(x) K2，，则称函数则称函数f(x)在在X上上有下界有下界，而称，而称K2为函数为函数f(x)在在X上的一个下界上的一个下界 图形特点图形特点：函数：函数 y f(x) 的图形在直线的图形在直线 y K2 的上方y=K2y=f(x)Oxy26.有界函数的图形特点有界函数的图形特点：： 函数函数y   f(x)的图形在直线的图形在直线y     M和和y   M的的之间。

之间 如果存在数如果存在数 M,使对任一使对任一 x X，，有有 | f(x) | M，， 则称函数则称函数f(x)在在X上有界；如果这样的上有界；如果这样的M不存在，不存在，则称函数则称函数f(x)在在X上是无界函数，就是说对任何上是无界函数，就是说对任何M，，总存在总存在 x1 X，，使使|f(x)|>MOxyy=f(x)y= - -My= M27.函数的有界性举例：函数的有界性举例： f(x)   sin x在在(  , + )上是有界的：上是有界的： 即即| sin x |  111yxO-2p pp pp 2pp 2py=sin x28.Oxy1 2y=1/x 函数函数f(x) 1/x在开区间在开区间(0,1)内是无界的内是无界的无界函数举例：无界函数举例： 函数函数f(x)  1/x在在(0, 1)内内有下界，无上界有下界，无上界。

这是因为，任取这是因为，任取M>1，，总有总有0< x1M，，所以函数无上界所以函数无上界 但此函数在但此函数在(1, 2)内是内是 有界的29.2. 函数的单调性函数的单调性x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x) 设函数设函数y  f(x)在区间在区间I上有定义如果对于上有定义如果对于区间区间 I 上任意两点上任意两点x1及及x2, 当当x1 < x2时，恒有时，恒有f(x1) < f(x2)，，则称函数则称函数f(x)在区间在区间I上是单调增加的上是单调增加的30. 如果对于区间如果对于区间I上任意两点上任意两点x1及及x2，，当当 x1 f(x2)，， 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调增加和单调减少的函数统称为单调函数31. 设函数设函数f(x)的定义域的定义域D关于原点对称。

如关于原点对称如果对于任意的果对于任意的x D，，有有f( x)  f(x)，，则称则称f(x)为偶函数为偶函数3. 函数的奇偶性函数的奇偶性Oxy-xxf(-x) f(x)y f(x)偶函数举例：偶函数举例： y x2，， y cos x都是偶函数都是偶函数 偶函数的图形关于偶函数的图形关于y轴对称32.奇函数举例：奇函数举例： y x3，， y sin x都是奇函数都是奇函数101x -22y 如果对于任意的如果对于任意的x D，，有有 f( x)f(x)，，则则称称f(x)为奇函数奇函数的图形关于原点对称为奇函数奇函数的图形关于原点对称33. 设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的数数 l ，，使得对于任一使得对于任一x D有有(x l) D，，且且 f(x+l)   f(x)，，则称则称f(x)为周期函数，为周期函数，l 称为称为f(x)的周期 周期函数的图形特点：周期函数的图形特点： yxOl2l-2l-ly=f(x)4. 函数的周期性函数的周期性34.四、反函数与复合函数四、反函数与复合函数 对于任一数值对于任一数值 y W，，D上可以确定唯一数上可以确定唯一数值值 x 与与 y 对应，这个数值对应，这个数值 x 适合关系适合关系 f(x) y。

如果把如果把 y看作自变量，看作自变量，x 看作因变量，按看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数新函数称为函数y f(x)的反函数，记作的反函数，记作 x=f -1(y)1. 反函数反函数 设函数设函数y f(x)的定义域为的定义域为D，，值域为值域为W35.Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y 单调函数存在反函数单调函数存在反函数. 什么样的函数存在反函数？什么样的函数存在反函数？36. 在数学中，习惯上自变量用在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用表示，因变量用y 表表示按此习惯，我们把函数示按此习惯，我们把函数 y f(x)的反函数的反函数x=f -1 (y)改写成改写成y  f -1 (x)反函数的图形：反函数的图形： 反函数的图形与反函数的图形与直接函数的图形关直接函数的图形关于直线于直线y = x对称Oxyy=xy=f(x)y=j j(x)P(a,b)Q(b,a)关于反函数的变量符号：关于反函数的变量符号：37.例例 函数函数 y= 表示表示 y是是 x的函数，它的定义域为的函数，它的定义域为 [1[1，，1]1]．．2．复合函数．复合函数 对于任一对于任一 x  [1[1，，1]1]，，先先计算计算 u=1 x2，，然后再计然后再计算算 y= ，，这就是说函数这就是说函数 y= 的对应法则是由函的对应法则是由函数数u=1 x2和和y= 所决定的，我们称函数所决定的，我们称函数 y= 是是由函数由函数u=1 x2和和y= 复合而成的复合函数，变量复合而成的复合函数，变量 u称称为中间变量．为中间变量．设设 u=1-x2，，则函数则函数 y= 的值可以按如的值可以按如下方法计算：下方法计算：38.D1D2u=j j(x)y =f(u)y =f [j j(x)]复合函数的定义：复合函数的定义： 一般地，设函数一般地，设函数y =f(u)的定义域为的定义域为D1，，函数函数u=j j(x)在数集在数集D2上有定义，如果上有定义，如果 {u | u= j j(x)，， x D2}  D1则对于任一则对于任一 x D2，，通过变量通过变量u能确定一个变量能确定一个变量y的值，的值，这样就得到了一个以这样就得到了一个以x为自变量、为自变量、y为因变量的函数，为因变量的函数，这个函数称为由函数这个函数称为由函数 y =f(u)和和u=j j(x)复合而成的复合复合而成的复合函数，记为函数，记为y =f [j j(x)] ，，其中定义域为其中定义域为D2，，u称为中间称为中间变量．变量．39.复合而成的．其中复合而成的．其中u，， v 都是中间变量．都是中间变量．函数函数y= 可看作是由可看作是由y= ，，u=1+v2，，v=lnx函数函数y= ，，u=cot v，，v= 经复合可得函数经复合可得函数问：函数问：函数y=arcsin u与与u=2+x2能构成复合函数吗？能构成复合函数吗？y = 例例 函数函数y=arctan x2可看作是由可看作是由y=arctan u和和u=x2复合而成的．复合而成的．40.五、初等函数五、初等函数1. 幂函数幂函数 函数函数 y=xm m （（m m 是常数）叫做是常数）叫做幂函数幂函数．． 幂函数的定义域：与常数幂函数的定义域：与常数m m 有关，但函数在有关，但函数在（（0 0，，+ + ）内总有定义．）内总有定义． 最常见的幂函数：最常见的幂函数：xyO11y = x 2y = xy =xxyO11y=x 1y=x341.1a>1y=axxyO常用的指数函数为常用的指数函数为 y=ex.2．指数函数．指数函数 函数函数 y=ax (a是常数，且是常数，且a>0，，a  1)叫做指数函数．叫做指数函数．指数函数的定义域：指数函数的定义域：D=（（    ，，+   ）．）． 单调性：单调性： 若若a>1，，则指数函数单调增加；则指数函数单调增加； 若若01y=axxyOy=logax3．．对数函数对数函数 指数函数指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a>0，，a  1)．． 对数函数的对数函数的定义域是区间定义域是区间(0，，+  )．． 自然对数函数：自然对数函数：y=ln x=loge x.43.常用的三角函数有：常用的三角函数有：正弦函数：正弦函数： y=sin x1-1y=cos x余弦函数：余弦函数： y=cos x1-1y=sin xyxOxyO4．三角函数．三角函数44.正切函数：正切函数： y=tan x 余切函数：余切函数： y=cot xxyO p pp p p p 2 2 p p 2 2xyO p pp p p p 2 2 p p 2 2y=tan xy=cot x45.反三角函数是三角函数的反函数反三角函数是三角函数的反函数.反正弦函数：反正弦函数： y=arcsin x，， 定义域为定义域为[-1，，1].反余弦函数：反余弦函数：y=arccos x．． 定义域为定义域为[-1，，1]．．-11yxO p p 2 2p p2 2y=arcsin xyxOp p-11y=arccos x5．反三角函数．反三角函数46.反正切函数：反正切函数： y=arctan x,定义域为定义域为(-  ，，  ).Oxy p p 2 2p p2 2y=arctan x p p 2 2p p2 2 其值域规定为其值域规定为( ，， )．．47.其值域规定为其值域规定为(0，，p)p)反余切函数：反余切函数： y=Arccot x，，定义域为定义域为(-  ，， + ).y=arccot xOxyp p48.6．基本初等函数与初等函数．基本初等函数与初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三函数和反三角幂函数、指数函数、对数函数、三函数和反三角函数统称为函数统称为基本初等函数基本初等函数．． 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为示的函数，称为初等函数初等函数．．都是初等函数．都是初等函数．例如例如，，，，49.一、数列的概念一、数列的概念二、数列的极限二、数列的极限三、用定义证明极限举例三、用定义证明极限举例四、收敛数列的性质四、收敛数列的性质数列、 数列举例、数列的几何意义极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义极限的唯一性、收敛数列的有界性收敛数列与其子数列间的关系§1.2 数列的极限数列的极限50.一、数列极限的概念一、数列极限的概念 如可用渐近的方法求圆的面积？如可用渐近的方法求圆的面积？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：用圆内接正多边形的面积近似圆的面积： 1. 数列数列 一个实际问题一个实际问题正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积该方法称为该方法称为割圆术割圆术51.数列：数列： 如如果果按按照照某某一一法法则则，，使使得得对对任任何何一一个个正正整整数数n对对应应着一个确定的实数着一个确定的实数xn ，，则得到一列有次序的数则得到一列有次序的数 x1，，x2，，x3，，…… ，，xn ，，……这这一一列列有有次次序序的的数数就就叫叫做做数数列列，，记记为为{xn}，，其其中中第第n 项项xn 叫做数列的叫做数列的一般项一般项．．数列举例：数列举例：52.数列举例：数列举例： 2，，4，，8，，… ，，2n ，，… ；； 一般项为一般项为2n一般项为一般项为 1 2n 1，， 1，，1，，…… ，，( 1)n+ +1，，…… ；； 一般项为一般项为( 1)n+1一般项为一般项为53.数列的几何意义：数列的几何意义： 数列数列{xn}可以看作自变量为正整数可以看作自变量为正整数 n 的函数：的函数： xn=f (n)，，它的定义域是全体正整数．它的定义域是全体正整数．x1x8x7x6x5x4x3x2xnOx数列与函数：数列与函数：x1=f(1)，， x2=f(2)，， x3=f(3)，， x4=f(4)，，．．．．．．，，xn=f(n) 数列数列{xn}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点轴上的点 x1，，x2，，x3，，…… ，，xn ，，……．．54. 例如例如xn a．．而数列而数列{2n}，，{ (-1)n+1}，，是发散的．是发散的．记为记为2. 数列的极限的通俗定义：数列的极限的通俗定义： 对于数列对于数列{xn}，，如果当如果当n 无限增大时，数列的一般无限增大时，数列的一般项项xn无限地接近于某一确定的数值无限地接近于某一确定的数值a ，，则称常数则称常数a 是数是数列列{xn}的极限，或称数列的极限，或称数列{xn}收敛于收敛于a ．．如果数列没有极限，就说数列是发散的．如果数列没有极限，就说数列是发散的．所以数列所以数列是收敛的．是收敛的．55.问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的凭观察能判定数列凭观察能判定数列的极限是多少吗的极限是多少吗显然不能显然不能.问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.56. ““当当n无限增大时，无限增大时，xn无限接近于无限接近于a” 等价于：当等价于：当n无限增大时，无限增大时，|xn a |无限接近于无限接近于0；或者说，要；或者说，要|xn a |有多小，只要有多小，只要n足够大，足够大， |xn a |就能有多小．就能有多小． 57. 这就是这就是“当当n无限增大时，无限增大时，xn无限地接近于无限地接近于1”的的实质和精确的数学描述。

实质和精确的数学描述58.3. 极限的精确定义：极限的精确定义： 定义定义 如果数列如果数列{xn}与常数与常数a 有下列关系：对于有下列关系：对于任意给定的正数任意给定的正数e e( (不论它多么小不论它多么小) ), , 总存在正整数总存在正整数N ,使得对于使得对于n >N 时的一切时的一切xn, 不等式不等式|xn a |N时的一切时的一切xn，，不等式不等式 |xn a |N 时，所有的点时，所有的点 xn 都落在区间都落在区间( (a- e , e , a+e e) )内，而只有内，而只有 有限有限( (至多只有至多只有N个个) )个在区间个在区间( (a- e , e , a+e e) )以外以外. xOaa- e ea+e e()x 1x NxN + 1xN + 2xN + 3xN + 5xN + 4x 260.对于任意给定的正数对于任意给定的正数e e>0，，.1) 1() 1(1) 1(| 1|111nnnnnnnxnnnn     + +   + +     要使要使,1| 1|e e< <  nxn,1e e> >n只需只需4、用定义证明极限举例、用定义证明极限举例 分析：分析：故取故取.1 e eN[ ]61. 证明：因为对于任意给定的证明：因为对于任意给定的e e>0，， 存在存在N=[1/e] e]，， 使当使当n>N时，有时，有 所以所以 e e1|1|  nxn. 1) 1(lim1  + + nnnn62.对于任意给定的对于任意给定的e e >0，要使，要使只需只需故取故取 分析：分析：63.所以所以 证明：因为对任意给定的正数证明：因为对任意给定的正数e e>0(任意小任意小), 存在存在使当使当n>N时时，， 有有e e ) 1(12+ + n0) 1() 1(|0|2 + +   nxnn64.注注①①定义习惯上称为数列极限的定义习惯上称为数列极限的ε—N定义，它用两个定义，它用两个动态指标动态指标ε和和N刻画了极限的实质，用刻画了极限的实质，用|xn－－a|＜＜ε定量地刻画了定量地刻画了xn 与与a 之间的距离任意小，即任给之间的距离任意小，即任给ε＞＞0标志着标志着“要多小要多小”的要求，用的要求，用n ＞＞N表示表示n充分充分大。

这个定义有三个要素：大这个定义有三个要素：10，，正数正数ε，，20，，正数正数N，，30，不等式，不等式|xn－－a|＜＜ε（（n ＞＞N））.②②定义中的定义中的ε具有二重性：一是具有二重性：一是ε的任意性，二是的任意性，二是ε的相对固定性的相对固定性65. ③③定义中的定义中的N是一个特定的项数，与给定的是一个特定的项数，与给定的ε有关重要的是它的存在性，它是在重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定相对固定后才能确定的，且由的，且由|xn－－a|＜＜ε来选定，一般说来，来选定，一般说来，ε越小，越小，N越越大，但须注意，对于一个固定的大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的，合乎定义要求的N不是唯一的用定义验证不是唯一的用定义验证xn 以以a 为极限时，关键在为极限时，关键在于设法由给定的于设法由给定的ε，求出一个相应的，求出一个相应的N，使当，使当n ＞＞N时，时，不等式不等式|xn－－a|＜＜ε成立在证明极限时在证明极限时ε，，n，，N之间的逻辑关系如下图所示之间的逻辑关系如下图所示|xn－－a| ＜＜ εn ＞＞ N66.④④定义中的不等式定义中的不等式|xn－－a|＜＜ ε（（n ＞＞N）是指下面）是指下面一串不等式一串不等式都成立，都成立，而对而对则不要求它们一定成立则不要求它们一定成立注意：注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.67.对于任意给定的正数对于任意给定的正数e e>0，，分析：分析：要使要使 例例 3 设设|q |<1，，证明等比数列证明等比数列 1，，q ，，q2，，… ，，qn-1，，…的极限是的极限是0．．68.使当使当n>N时，有时，有所以所以. 1lim1=-nnq 例例 3 设设|q |<1，，证明等比数列证明等比数列 1，，q ，，q2，，… ，，qn-1，，…的极限是的极限是0．．69.矛盾矛盾!二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质1.1.定理定理1(1(极限的唯一性极限的唯一性) ) 如果数列如果数列{xn}收敛，则其收敛，则其只有一个极限只有一个极限. 证证用反证法用反证法.a ≠b不妨设不妨设a ＜＜ b.70.数列的有界性：数列的有界性： 对于数列对于数列{ {xn}，，如果存在着正数如果存在着正数M，，使得对一切使得对一切xn都都满足不等式满足不等式 |xn| M则称数列则称数列{ {xn}是是有界的；如果这样的正数有界的；如果这样的正数M不存在，不存在，就说数列就说数列{ {xn}是是无界的．无界的．数列数列xn=2n(n=1，，2，， …)是无界的．是无界的． 2.2.定理定理2(2(收敛数列的有界性收敛数列的有界性) ) 如果数列如果数列{xn}收敛，那么数列收敛，那么数列{xn}一定有界．一定有界．71. 证明：设数列证明：设数列{xn}收敛，且收敛于收敛，且收敛于a．．根据数列极根据数列极限的定义，对于限的定义，对于 ，存在正整数，存在正整数N，，使对于使对于n>N时的时的一切一切xn，， 不等式不等式 | xn- a |N时，时， | xn |=| ( xn- a ) + a |   | xn- a |+| a |<1+| a |．． 取取M=max{| x1 |，， | x2 |，， …, | xN |，， 1+| a |}，，那么数列那么数列{xn}中的一切中的一切 xn都满足不等式都满足不等式 | xn |   M．． 这就证明了数列这就证明了数列{xn}是有界的．是有界的．72.3.3.定理定理3(3(收敛数列的保号性收敛数列的保号性) ) 如果数列如果数列{xn}收敛于收敛于a ，，且且a>0(或或 a<0), 则存在则存在正整数正整数N>0, 当当n>N时时, 都有都有xn >0．． 推论推论 如果数列如果数列{xn}收敛于收敛于a ，，且从某项起有且从某项起有xn≥0(或或xn≤0), 则则a ≥0(或或a ≤0).73. 2．．如如果果数数列列{xn}收收敛敛，，那那么么数数列列{xn}一一定定有有界界．．发发散散的的数数列列是是否否一一定定无无界界? 有有界界的的数数列列是是否否收收敛敛? 讨论：讨论：74.§1.3 §1.3 函数的极限函数的极限2.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限1.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限极限的通俗定义、极限的通俗定义、极限的几何意义、极限的几何意义、 极限的局部保号性、极限的局部保号性、极限的精确定义、极限的精确定义、左右极限左右极限极限的通俗定义、极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的精确定义、极限的几何意义、极限的几何意义、 水平渐近线水平渐近线一、函数极限的概念一、函数极限的概念二、函数极限的性质二、函数极限的性质75. 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：主要研究以下两种情况：一、当自变量一、当自变量x的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的变化趋势，二、当自变量二、当自变量x无限地接近于无限地接近于x0时，时，f(x)的变化趋势的变化趋势一、函数极限的概念一、函数极限的概念76.函数极限的通俗定义：函数极限的通俗定义： 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值数值 f(x)无限接近于某一确定的常数无限接近于某一确定的常数A，，那么这那么这个确定的常数个确定的常数A就叫做在这一变化过程中函数就叫做在这一变化过程中函数f(x)的极限．的极限．77.先看一个例子先看一个例子 这个函数虽在这个函数虽在x=1处处无定义，但从它的图无定义，但从它的图形上可见，当点从形上可见，当点从1的的左侧或右侧无限地接左侧或右侧无限地接近于近于1时，时， f(x)的值无的值无限地接近于限地接近于4，我们称，我们称常数常数4为为f(x)当当x→1 时时f(x)的极限。

的极限1xyo41.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限78.79.f (x) A或或f (x) A(当当x x0)．． f (x) A  e>0,e>0,  >>0 0, 当当0<|x x0|<  时，时，有有 |f (x) A|

正数正数ε，，20正数δ，， 30不等式②②定义中定义中 所以所以x →x0时时，，f(x) 有无极限与有无极限与 f(x)在在x0处的处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在在x0附近的变化趋势，即附近的变化趋势，即 x →x0时时f(x) 变化有无终极变化有无终极目标，而不是目标，而不是f(x) 在在x0这一孤立点的情况这一孤立点的情况 约定x →x0但但 x≠x0.81.③③δ＞＞0反映了反映了x充分靠近充分靠近x0的程度，它依赖于的程度，它依赖于ε，，对一固定的对一固定的ε而言，合乎定义要求的而言，合乎定义要求的δ并不是唯并不是唯一的δ由不等式由不等式 |f(x) －－A|＜＜ε 来选定，来选定，一般地，一般地，ε越小，越小，δ越小越小.2) 几何解释几何解释:82.因此对于任意因此对于任意给定的正数给定的正数e e ，，当当0<|x x0|<  时，时，|f (x) A|=|c c|=00e>0，， d  >0d  >0，， 因此因此 证明：证明： |f(x) A|=|(2x 1) 1|=2|x 1|，，为了使为了使 |f(x)-A|< ，，即即可可取取  =85.所以所以 e e >0 >0 ，，     e e >0 >0 ，，从而从而只需只需 |x 1|< |<  ，，|f(x)- - 2|=|x 1|0e>0，，  >>0 0，， 当当 x0- -   X的一切的一切x，，对应的函数数值对应的函数数值f(x)都满足不等式都满足不等式|f(x) A|0, 0,  X >0, 0, 当当 |x|>X时时,有有 | f (x) A|X时，时，要证存在正数要证存在正数X，， 分析：设分析：设e e是任意给定的正数．是任意给定的正数．因为对因为对 e e>0>0，， X= ，，使当使当|x|>X时，有时，有94.水平渐近线：水平渐近线：直线直线y=0是函数是函数y = 的的图形的水平渐近线．图形的水平渐近线．已知已知 ．．xyO1195.如果如果 ，，Oxy p p 2 2p p2 2y=arctan x 例如，函数例如，函数y=arctanx的图形的水平渐近线有两条：的图形的水平渐近线有两条：则直线则直线y=c是是函数函数y=f (x)的图的图形的水平渐近线．形的水平渐近线．一般地，一般地，和和．．96.二、函数极限的性质二、函数极限的性质1.局部有界性局部有界性2.唯一性唯一性定理定理 如果如果, ,那么存在正数那么存在正数 ,M，使得，使得当当d d< < < <00xx时，有时，有Mxf  | )(|. . 定理定理 若若存在存在, ,则极限唯一则极限唯一. .. 97.3(3(局部保号性局部保号性) )推论推论98.§1.4 §1.4 极限的运算法则极限的运算法则一、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则三、复合函数的极限运算法则99.一、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大 如如果果函函数数f (x)当当x x0(或或x  )时时的的极极限限为为零零，，那那么么函函数数 f (x)叫叫做做x x0(或或x  )时时的的无无穷穷小小．． 1. 无穷小无穷小所以函数所以函数x11是是当当x1时的无穷小．时的无穷小． 例如例如 因为因为 ，， 100.注意注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程；变化过程；2.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.101.2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性102.例如例如 ，，因为因为 ，， 而而 ．．所以所以 ．．定理定理1说明说明如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限．该常数就是这函数的极限．意义意义 1.1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题 ( (无穷小无穷小););103.3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,有限个无有限个无穷小的代数和仍是无穷小穷小的代数和仍是无穷小.注意注意　　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .104.定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小?)sin11(lim2 + + xxxx问：问：105.4. 4. 无穷大无穷大 如果当如果当x x0( (或或x ) )时，对应的函数值的绝对时，对应的函数值的绝对值值|f (x)|无限增大，就说函数无限增大，就说函数f (x)当当x x0 ( (或或x ) )时为无穷大，记为时为无穷大，记为106.注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;2. 当当x x0(或或x )时为无穷大的函数时为无穷大的函数f(x)，，按函数极限定义来说，极限是不存在的．但按函数极限定义来说，极限是不存在的．但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大函数的极限是无穷大”．．107.特殊情形：特殊情形：例如例如:108.证证109.无穷小与无穷大的关系：无穷小与无穷大的关系： 定理定理2 在自变量的同一变化过程中，如果在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为为无穷大，则无穷大，则)(1xf为无穷小为无穷小；；反之，如果反之，如果f(x)为无穷小，为无穷小，)(1xf则则 为无穷大．为无穷大．110.二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则 定理定理3 如果如果lim f (x) A，，lim g (x) B，，则则 （（1））lim [f (x) g(x)]存在，且存在，且lim [f (x) g(x)] = lim f (x)  lim g (x)=A   B （（2））lim f (x)·g(x)存在，且存在，且 lim f (x)·g(x) = lim f (x) · lim g (x)= A · B)()(limxgxf)(lim)(limxgxf BA 111.定理简言之即是：和、差、积、商的极限定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商等于极限的和、差、积、商. .定理中极限号下面没有指明极限过程，是指定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立对任何一个过程都成立.说明说明: :推论推论1 1即常数因子可以提到极限记号外面即常数因子可以提到极限记号外面. .推论推论2 2112. 解解 1．． 2·1 1解解113.例例3 3解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系得由无穷小与无穷大的关系得114.讨论：讨论：当当x x0 时，多项式的极限时，多项式的极限有理分式的极限有理分式的极限115.观察：观察：116.小结小结: :117. 先用先用x3去除分子及分母去除分子及分母, ,然后取极限然后取极限: :解解先用先用x3去除分子及分母去除分子及分母, ,然后取极限然后取极限: :解解 例例4 求求 xlim3572432323 + ++ ++ +xxxx．． 例例5 求求¥®xlim52123232+---xxxx．118.解解 应用例应用例6的结果得的结果得根据例根据例5、、6、、7讨论有理函数当讨论有理函数当x时的极限：时的极限：讨论：讨论：其中其中a0 0、、b0  0，， m和和n为非负整数．为非负整数．= ．． 例6 求¥®xlim12352223--+-xxxx．119.结论：结论： 当当a0 0、、b0  0，， m和和n为非负整数时．为非负整数时．a0b0，， 当当n=m，， ，， 当当nm，，120. 解解 当当x时，分子及分母的极限都不存在，时，分子及分母的极限都不存在，故关于商的极限的运算法则不能应用．故关于商的极限的运算法则不能应用．但但这是无穷小与有界函数的乘积，所以这是无穷小与有界函数的乘积，所以 例例7 求¥®xlimxxsin．121.例例8 8解解( (消去零因子法消去零因子法) )122. 定理定理4 设函数设函数u j j(x)当当x x0时时 的极限存在且等于的极限存在且等于 j ja，即，即0limxx(x) ax，且存在点，且存在点0的某去心邻域内的某去心邻域内极限也存极限也存在，且在，且注：注：三、复合函数的极限运算法则三、复合函数的极限运算法则 把定理中把定理中0limxxj j(x)= =a换成换成0limxxj j(x)= = 或或 xlimj j(x)= = , , j j(x ) a, ,又又aulimf(u) A, ,则复合函数则复合函数f [j j(x)] 当当x x0时的时的123. 检查下各题的解过程是否有误，错误的地方如何改正？检查下各题的解过程是否有误，错误的地方如何改正？解题评析：解题评析：124.例例9 求下列极限求下列极限①①②②解解解解125.③③解解126.④④解解127. §1.5 §1.5 极限存在准则与重要极限极限存在准则与重要极限准则准则 I ：： 如果函数如果函数g(x)、、f(x)及及h(x)满足下列条件：满足下列条件：1.准则准则 I：： 如果数列如果数列{xn }、、{yn}及及{zn}满足下列条件：满足下列条件： (1) yn xn zn(n 1，，2，，3，，……)，，128.准则准则 Ⅰ和准则和准则 Ⅰ'称为称为夹逼准则夹逼准则.注意注意: :夹逼定理示意图夹逼定理示意图129.例例1 1解解由夹逼准则得由夹逼准则得130. 2.准则准则 II 如果数列如果数列{x n}满足条件满足条件x 1 x 2 x 3  … …  x n x n+ +1  ……就称数列就称数列{x n}是单调增加的；是单调增加的； 如果数列如果数列{x n}满足条件满足条件x 1 x 2 x 3  … …  x n x n+ +1  ……就称数列就称数列{x n}是单调减少的．是单调减少的． 单调增加和单调减少数列统称为单调数列．单调增加和单调减少数列统称为单调数列．131. 注注：：在在第第三三节节中中曾曾证证明明：：收收敛敛的的数数列列一一定定有有界界．．但但那那时时也也曾曾指指出出：：有有界界的的数数列列不不一一定定收收敛敛．．现现在在准准则则II表表明明：：如如果果数数列列不不仅仅有有界界，，并并且且是是单单调调的的，，那那么么这这数数列列的的极极限限必必定定存存在在，，也也就就是是这这数数列列一定收敛．一定收敛．准则准则 II：： 单调有界数列必有极限．单调有界数列必有极限．几何解释几何解释:132.例例2 2证证(舍去舍去)133.首先注意到首先注意到设法构造一个设法构造一个“夹逼不等式夹逼不等式”，使函，使函数数在在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数两个函数 g(x), h(x) 之间，以便应用之间，以便应用准则准则Ⅰ‘ .3.3.第一个重要极限：第一个重要极限：134. 即即 sin x

下面我们大的价值，起着十分重要的作用下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义上是比较明显的在几何意义上是比较明显的§1.§1.9 9 闭区间上的连续函数的性闭区间上的连续函数的性质质183. 一、有界性与最大值最小值定理一、有界性与最大值最小值定理举例举例 ：： 最大值与最小值：最大值与最小值： 对于在区间对于在区间I上有定义的函数上有定义的函数f(x)，，如果有如果有x 0 I，，使得对于任一使得对于任一x  I都有都有f(x) f(x 0) (f(x) f(x 0))，，则称则称f(x 0)是函数是函数f(x)在区间在区间I上的最大值（最小值）上的最大值（最小值） 函数函数f(x) 1+ +sin x在区间在区间[0，，2p p]上有最大值上有最大值2和最小值和最小值0．．012184. xyO1-1 函数函数f(x) sgn x 在区间在区间(  ，，+ + )内有最大值内有最大值 1和最和最小值小值 1．．又如又如 ：： 在开区间在开区间(0，，+ + )内，内，sgn x的最大值和最小值都是的最大值和最小值都是1．．185. 函数函数f(x) x在开区间在开区间(a，，b)内既无最大值又无内既无最大值又无最小值．最小值．xyOy=xab又如又如 ：：186. 注注1 ：： 定理定理1说明，如果函数说明，如果函数f(x)在闭区间在闭区间[a，，b]上连续，上连续，那么至少有一点那么至少有一点x x1 [a，，b]，，使使f(x x1)是是f(x)在在[a，，b]上的上的最大值，又至少有一点最大值，又至少有一点x x2 [a，，b]，，使使f(x x2)是是f(x)在在[a，，b]上的最小值．上的最小值．abxyf(x x2 2) )x xx x1 1Of(x x1 1) )x x2 2y=f(x) ) 定理定理1 （有界性与最大值和最小值定理）（有界性与最大值和最小值定理）在闭区间上在闭区间上连续的函数在该区间上连续的函数在该区间上有界且有界且一定有最大值一定有最大值 和最小值．和最小值．187. 注注2：： 如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值．小值． 在开区间在开区间(a，，b) 内考察函数内考察函数y x．． 函数函数f(x) x在开区间在开区间(a，，b)内既无最大值又无最小值．内既无最大值又无最小值．xyOy=xab188. 在闭区间在闭区间[0，，2] 考察函数考察函数yx2112O 函数函数 y=f(x)在闭区间在闭区间[0，，2]上既无最大值又无最小值．上既无最大值又无最小值．189. 二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理零点：零点： 如果如果x0使使f(x0) 0，，则则x0称为函数称为函数f(x)的零点．的零点．abOxyx x1 1x x2 2x xx x3 3y=f(x)190. 定理定理2（零点定理）（零点定理）设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间[a，，b]上上连续，且连续，且f(a)与与f(b)异号（即异号（即f(a) ·f(b)<0），），那么在开那么在开区间区间(a，，b)内至少有函数内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一的一个零点，即至少有一点点x x (a0，， f(1)2<0．．根据零点定理，在根据零点定理，在(0，，1)内至少有一点内至少有一点x x ，，使得使得f(x x) 0，，即即 x x 3 4x x 2+ +1 0 (0