向量组的秩和线性相关性.ppt

§2.2 §2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 §2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 一一. 基本概念基本概念 列向量组列向量组:  1,  2, …,  s 矩阵矩阵A = ( 1,  2, …,  s) 矩阵矩阵A的秩的秩 向量组向量组 1,  2, …,  s的的秩秩 r( 1,  2, …,  s) 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 行向量组行向量组:  1,  2, …,  s 矩阵矩阵A的秩的秩 向量组向量组 1,  2, …,  s的的秩秩 矩阵矩阵A =  1 2 s… r( 1,  2, …,  s) §2.2 §2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量  r( 1,  2, …,  s)   s r( 1,  2, …,  s) < s r( 1,  2, …,  s) = s  1,  2, …,  s 线性无关线性无关  1,  2, …,  s 线性相关线性相关§2.2 §2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 ( (linearly dependentlinearly dependent) ) ( (linearly linearly inindependentdependent) )   1,  2, …,  s线性相关线性相关   1T,  2T, …,  sT线性相关线性相关 几个显然的结论几个显然的结论: (1)注意注意: 不要混淆不要混淆:“矩阵矩阵A的的列列向量组向量组线性相关线性相关” “矩阵矩阵A的的行行向量组向量组线性相关线性相关”与与如如: A = 1 0 10 1 0§2.2 §2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 (2) 只含有一个向量只含有一个向量 的向量组的向量组线性相关线性相关    = 0. (4) 含两个向量含两个向量 ,  的向量组的向量组线性相关线性相关   ,   的分量成比例的分量成比例. (5) 当当s > n时时, 任意任意s个个n维向量都线性相关维向量都线性相关. (3) 含有零向量含有零向量的向量组一定的向量组一定线性相关线性相关. §2.2 §2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量  例题例题 求下列向量矩阵的的秩，并判断它们求下列向量矩阵的的秩，并判断它们是不是线性相关的。

是不是线性相关的1）（2）（3）n维基本单位向量组维基本单位向量组解：(1)记则因为 ，所以行列式的秩小于3，明显的，A的2阶行列式故A的秩等于2，因此三个向量线性相关容易求得容易求得r(A)=3,因此向量因此向量组线性无关性无关 (3) 因因为ε1, ε2 ,..., εn 对应的矩的矩阵是是单位矩位矩阵阵, 从而其秩从而其秩为n，故，故该向量向量组是是线性无关的性无关的 (2)记记例题例题2.3 设设 线性无关，且线性无关，且证明：证明： 线性无关线性无关解：只对列向量的情形证明记解：只对列向量的情形证明记据已知条件知，据已知条件知，B=AP 而矩阵而矩阵P是可逆是可逆的，因此，的，因此，r(A)=r(B)，，因此因此线性无关线性无关二二. 向量组秩的性质向量组秩的性质A:  1,  2, …,  r B:  1,  2, …,  s 若若B组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由A组中的向组中的向 量线性表示量线性表示, 则称向量组则称向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示.1. 给定两个向量组给定两个向量组 §2.2 §2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 能由能由 线性表示线性表示, 例如例如: 2030, 1001, 但但2030不能由不能由 线性表示线性表示. , 1001, 若向量组若向量组B能由向量组能由向量组A线性表示，同时线性表示，同时 向量组向量组A能由向量组能由向量组B线性表示线性表示, 则称这则称这两个向量组两个向量组等价等价.§2.2 §2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 A:  1,  2, …,  r B:  1,  2, …,  s 4. 给定两个向量组给定两个向量组 显然显然, (1)向量组向量组A与其自身等价与其自身等价(反身性反身性); (2) 若若A与与B等价等价, 则则B与与A等价等价(对称性对称性); (3) 若若A与与B等价且等价且B与与C等价等价, 则则B与与A等价等价 (传递性传递性). 定理定理2.1 如果向量组如果向量组β1, β2, ..., βt可以由可以由α1, α2,..., αs线性表示线性表示, 则则r{β1, β2, ..., βt} ≤r{α1, α2,..., αs}推论推论2.1 如果向量组如果向量组β1, β2, ..., βt可以由可以由α1, α2,..., αs线性表示线性表示, 且且t >s, 则向量组则向量组β1, β2, ..., βt一定线性相关。

一定线性相关推论推论2.2 如果向量组如果向量组β1, β2, ..., βt与向量组与向量组α1, α2,..., αs等价等价, 则则r{β1, β2, ..., βt} =r{α1, α2,..., αs}推论推论2.3 如果向量组如果向量组β1, β2, ..., βt与向量组与向量组α1, α2,..., αs都线性无关且相互等价，则都线性无关且相互等价，则s = t例例2.4. 设有设有两个向量组两个向量组 I:  1=[1, 1],  2=[1,  1],  3=[2, 1], II:  1= [1, 0],  2= [1, 2]. 即即I可以由可以由II线性表示线性表示. 则则 1=  1+  2, 2 1 2 1  2=  1   2, 2 3 2 1  3=  1+  2, 2 3 2 1 即即II可以由可以由I线性表示线性表示.  1=  1+  2+0 3, 2 1 2 1  2=  1   2+0 3, 2 3 2 1 故向量组故向量组I与与II等价等价. §2.2 §2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 例例2.5 设向量组 可以由向量组线性表示，并且证明： 线性无关的充分必要条件是线性无关的充分必要条件是线性无关。

线性无关证明：由已知 可以由 线性表示三个式子相加得即 因此，同时由条件可以解出 ；将所以 可以由 线性表示因此两个向量组是相互等价的即线性无关的充分必要条件 线性无关。