有限差分方法.ppt

天气学诊断分析大气科学学院 高庆九 杜银 徐蜜蜜 主讲学时安排和要求2Ø 学时安排： ü 讲课 36学时， 实习 12学时Ø 要求： ü 熟悉各种基本物理量和温湿特征参量的计算 ü 掌握计算机编程、文件的输入输出 ü 绘图； ü 对绘制的图形，结合所学知识进行分析3参考书籍u现代天气学中的诊断分析方法，中国科学院大气物理研究所，丁一汇， 1984；u天气诊断分析方法简介，气象出版社，董晓敏,田盛培， 1986；u天气过程诊断分析原理和实践，北京大学出版社，陶祖钰 谢安编著，1989； u天气动力学中的诊断分析方法，科学出版社，丁一汇编著，1989；uWeather Analysis，Prentice Hall，Dusan Djuric,1994；uAn Introduction to Dynamic Meteorology，Academic Press， James R. Holton, 2004；u天气分析预报物理量计算基础，气象出版社，刘健文，郭虎，李耀东，刘还珠 ，吴宝俊主编，2005；u天气学原理和方法，气象出版社，朱乾根，林锦瑞、寿绍文、唐东昇编著， 2007；4课程简介Ø 诊断分析方法是现代天气学研究和业务工作中常用方 法，是加深认识天气系统及其发生、发展过程的一种 重要途径，是当前天气工作者必须掌握的基本技能。

Ø 它用各种实测资料，结合适当的热力学和动力学方程 ，对所关心的物理量或有关的诊断方程中的各项进行 计算，对天气演变过程中伴随的各种物理过程或某一 物理过程中起作用的各个方面作出定量的估计和解释 Ø 它可应用于大气科学中的各个领域，如气候诊断分析 ，大气环流模式和天气预报模式的诊断分析以及物理 量场的诊断分析等等天气图分析的优点与问题优点：图像直观，容易理解存在的问题：l带有一定的人为主观性l不能分析复杂天气演变的物理原因l分析的项目与大气动力学原理相差甚远天气诊断分析的优点与问题优点：完全在天气动力学理论的指导下计算分析影响 天气过程的各种物理因子，所得结果定量、客观存在的问题：l所用资料存在观测误差l所用资料存在代表性误差l差分计算方法的误差 （截断误差）7诊断分析的前期准备工作：1.熟练使用Fortran程序语言2.掌握物理量的计算方法3.熟悉所用的资料常见的大气再分析资料：lNOAA: NCEP-NCAR reanalysis lECWMF: ERA-15/ ERA-40/ ERA-Interim lJMA: JRA-25/ JRA-55一般气象站一般站。

主要 是按省（区、 市）行政区划 设置的地面气 象观测站，获 取的观测资料 主要用于本省 （区、市）和 当地的气象服 务，也是国家 天气气候站网 的补充 简称基本站 是根据全国气 候分析和天气 预报的需要所 设置的气象观 测站，大多担 负区域或国家 气象信息交换 任务，是我国 天气气候站网 中的主体 基本气象站简称基准站是 根据国家气候区 划，以及全球气 候观测系统的要 求，为获取具有 充分代表性的长 期、连续气候资 料而设置的气候 观测站，是国家 气候站网的骨干 必要时可承担 观测业务试验任 务基准气候站测量要素测量范围分辨率准确度平均时间采样速率气温-50～+50℃0.1℃0.2℃1min6次/min相对湿度0～100％1％4％（≤80％） 8％（＞80％）1min6次/min气压500～1100hPa（任 意200hPa）0.1hPa0.3hPa1min6次/min风向0～360°3°5°3s 2min 10min1次/s风速0～60m/s0.1m/s（0.5+0.03V）m/s （0.3+0.03V）m/s（ 基准站）降水雨强 0～4mm/min0.1mm0.4mm（≤10mm） 4％（＞10mm）累计1次/min日照0～24h60s0.1h累计蒸发0～100mm0.1mm1.5％累计地温-50～+80℃0.1℃0.5℃ 0.3℃（基准站）1min6次/min总辐射0～2000W/m21W/m25％1min6次/min净辐射-200～1400W/m21W/m215％～20％1min6次/min直接辐射0～2000W/m21W/m22％1min6次/min观测可获得一般的气象要素（温 、压、湿、风），但如涡度，散 度，垂直速度，水汽通量和水汽 通量散度，以及各种能量场等等 无法由观测直接得到的，必须通 过其他要素计算间接获得13141516u 预报场：对未来某时刻某物理量的预报结果，在预报方程中含有 该物理量对时间的微商项。

u 诊断场：物理量在某时刻的空间分布是该物理量在某时刻的分布 实况，在计算该物理量的方程中不含有对时间的微商项 u 诊断方程：反映各气象要素场之间关系的，不含有对时间微商项的 方程相对涡 度平流地转涡 度平流涡度垂 直输送涡度倾侧项绝对涡度与散度 （散合项）运动方程的 零级简化诊断分析的应用u日常观测资料 非观测物理量Ø①基本热力、动力学参量Ø②非绝热加热的计算Ø③大尺度水汽，热量，涡度和能量的收支Ø④大气环流的诊断分析Ø⑤中小尺度天气的诊断分析在日常业务预报中，为天气预报提供更多依据在气象研究工作中，了解产生某些天气现象的物理原因2021水汽通 量散度蒸发率22水汽平流项风场散度项o 针对诊断对象（某类灾害性天气或典型天气过 程），选取合理的诊断方程，使之能体现出大 气物理过程的基本特点 o 诊断方程的形式应便于计算，使计算在允许的 精度范围内越简单越好 o 微分形式的诊断方程用差分近似地代替，将其 转化成计算数学表达式，然后编程计算得出物 理量的三度空间分布怎样进行诊断分析授课内容o 第一章 有限差分方法 o 第二章 温湿特征参量的计算 o 第三章 运动学特征参量的计算 o 第四章 由风场计算速度势、流函数和高度场 o 第五章 大尺度水汽、涡度收支的计算 o 第六章 稳定度的计算 第一章 有限差分方法§1.1 简单的有限差分公式§1.2 拉普拉斯算子§1.3 雅可比算子§1.4 差分方程的精确性问题26§1 简单有限差分公式理论上其展开式是精确成立的，各种差分公式都是由泰勒展开式来构成的291. 一阶微商的几种差分方案30两点式差分方案及其精度（向前差分方案）（向后差分方案）截断误差：取决于泰勒展式中 被略去的第一项的量级32三点式差分方案及其精度（1.1.1）-（1.1.2）（中央差分方案）33两点式和三点式的几何意义35五点式差分方案（1.1.1）-（1.1.2）：（1.1.3）-（1.1.4）：(a)(b)364/3(a) – 1/3 (b):38(1,1)ij(m,n)二阶微商的几种差分方案三点式差分方案（1.1.1）+（1.1.2）二阶精度五点式差分方案（1.1.1）+（1.1.2）移项整理 可得：（1.1.3）+（1.1.4）移项整理 可得：(a)(b)414/3(a) – 1/3 (b):42截断误差：四阶精度10§2 拉普拉斯算子的差分格式假设：（较大） （较小）高度场的拉普拉斯反映等压面的凹凸程度及方向52拉普拉斯算子可用来做空间场的尺度分离(“放大镜”)二维函数的泰勒展开式——有限差分方案的出发点o若函数f(x, y)在含有(x0, y0)的某一 邻域D内连续，且有直接到n+1阶的 连续偏导数，并设(x0+h, y0+k)为 此邻域内的任意一点， 有：55二维函数的泰勒展式 ：几种拉普拉斯算子的差分格式五点式差分方案一575859五点式差分格式一：62五点式差分方案二拉普拉斯算子的九点差分格式对以上八点，将二维泰 勒展开在这八点上， 并根据距离的不同给 予不同的权重，做以 下组合:11114444§3 雅可比算子雅可比算子经常出现在平流项中，如涡度方程 ，位势倾向方程和ω方程中:雅可比算子的差分形式上述格式会在数值预报中引起计算不稳 定网格距大小的涡旋会有伸长现象原因：在有限区域内没有构成总动能和 涡度 平方平均值守恒Arakawa的雅可比差分方案(i,j)(i+1,j)(i+1,j-1)(i,j-1)(i-1,j-1)(i-1,j)(i-1,j+1)(i,j+1)(i+1,j+1)（1.1.17）（1.1.18）（1.1.19）均为二 阶精度，九点格式，满足诊断分析要求§4 差分方程的精确性问题在求解数学物理方程时，构成差分格式的方法有好多种，如有限元方法、特征线法、差商方法等。

上面讨论 的是最一般的差商代替微商的差分方法这种方法的精确度与许多因子有关首先与对对△X的截断误误差的阶阶有关，同时差分近似的精确度还依赖于网格距△X的大小及研究对对象的尺度o截断误差的量级为o(Δx)，则称微商的 差分近似是一阶的，若量级为 o(Δx2) ，则称差分近似是二阶的截断误 差的阶数越高，差分近似的精度越高 81因为大气是以波状运动为主，假设：(L为A要素场的波长，B为振幅） 以一阶导数的中央差为例：天气系统确定，则 波长L确定,因此 Δx越小误差越小82l当比列△X/L很小，如L≥10△X时，中央差 分近似于真值；l如△X≥L/2,则差分的结果很差，如 △X=L/2,不论L取什么值，有限差分近似总 是为零83如何选取差分格距 ?Δx泰勒展开式等号右边各导数项的数量级大小如何确定?气象要素多呈现波动规律，假设：(L为A要素场的波长，B为振幅） 一阶导数的数量级 ：二阶导数的数量级 ：三阶导数的数量级 ：84可见只有在 的条件下，微商阶数较低的项其数量级才较大，构造差分方案时才可以略去高阶微商项85相对误差 = |误差值 / 计算值|二阶精度的一阶微商差分方案（三点式）以略去的第一项计算，其相对误差为 如果 =1，则相对误差为1/6=17% , 计算值的有效位数只有一位甚至都不到；如果 =1/2，则相对误差为1/24=4%计算值的有效位数可能有两位。

86四阶精度的一阶微商差分方案（五点式）以略去的第一项计算，其相对误差为 l 如果 =1，则相对误差为1/30=3% , 计算值的有效位数可能有两位；l 如果 =1/2，则相对误差为0.002=0.2%，计算值的有效位数可能有三位87选取差分格距的原则：必须取 < 1, 即• 选取差分格距时必须考虑到计算对象的空间尺度 • 格距越小其相对误差也越小 • 越低阶的差分方案对格距的要求就越高气象上一般要求差分计算值的相对误差不超过10%例如：计算对象的波长L=1000km, 计算一阶微商 若采用二阶精度的差分方案（中央差）：Δx ≤ 123km 若采用四阶精度的差分方案（五点式）：Δx ≤ 209km88§5 简单的客观分析应用1. 如果网格资料的格距与需要的不符怎么办？ —— 双线性插值ef89ef902. 如果没有网格资料怎么办？ ★✚✚✚✚✚✚XY第k个站点的权重系数为：913. 如果资料中没有所需要的气压层怎么办？ 拉格朗日插值公式的普遍形式为：拉格朗日的二次(n＝2)插值公式为：常被用来求各等压面上的要素值或其他物理量 。

由于气压随高度呈对数变化，应用插值公式时常取气压的对数形式lnP例如，已知探空资料500hPa、700hPa、850hPa的高度值分别为5500、3000、1500（单位：位势米），用拉格朗日二次插值公式求600hPa的高度94思考题：1.设计有限差分方案的依据是什么？写出A(x+Δx)、A(x-Δx)、 A(y+2Δy)、A(y-2Δy)的泰勒展开式2. 写出一阶微商和二阶微商的三点式差分方案并说明精度3.试推导一阶微商的五点式差分公式，并说明其为几阶精度？ （从泰勒展开式出发推导，不要先写出结论再证明方程两边相等； 注意：泰勒展式需要展开到五阶导数项）4. 写出拉普拉斯算子的两种五点式差分方案，其为几阶精度？5. 试推导用图中5点构造的拉普拉斯算。