考点27 与基本不等式有关的应用题【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、（2017江苏高考）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .答案 30解析 总费用≥240，当且仅当，即时等号成立.2、(2016常州期末）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)．(1) 求S关于x的函数关系式；(2) 求S的最大值．规范解答 (1) 由题设得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．(6分)(2) 因为80，此时函数y在[0,2]上单调递增，所以当a<2时，函数y在[0，a]上单调递增，(11分)所以当x＝a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．(12分)综上，当a≥2时，促销费用投入2万元，厂家的利润最大；当a<2时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．(14分)【问题探究，变式训练】题型一 利用基本不等式解决与平面图形有关的问题知识点拨： 在利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意验证基本不等式成立的三个条件，即一正二定三相等．如果等号成立的条件不具备，就应该研究函数的单调性来求函数的最值．例1、(2017南通一调）如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪．(1) 当∠EFP＝时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；(2) 若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．规范解答 (1) 当∠EFP＝时，由条件得∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝.所以∠FPE＝.所以FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．(3分)所以四边形MNPE的面积S＝PNMN＝2(m2). (5分)(2) 解法1 设∠EFD＝θ，由条件，知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ.所以PF＝＝，NP＝NF－PF＝3－，ME＝3－.(8分)由得(*)所以四边形MNPE面积为S＝(NP＋ME)MN ＝2 ＝6－－ ＝6－－ ＝6－ (12分) ≤6－2＝6－2.当且仅当tanθ＝，即tanθ＝，θ＝时取“＝”．(14分)此时，(*)成立．答：当∠EFD＝时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为(6－2) m2.(16分)【变式1】（2016南京学情调研）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积． 规范解答 设休闲广场的长为xm，则宽为 m，绿化区域的总面积为Sm2，则S＝(x－6)(6分) ＝2424－ ＝2 424－4，x∈(6,600)．(8分)因为x∈(6,600)，所以x＋≥2＝120，当且仅当x＝，即x＝60时取等号．(12分)此时S取得最大，最大值为1944.答：当休闲广场的长为60m，宽为40m时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1 944m2.(14分)【变式2】(2016镇江期末）如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．(1) 设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；(2) 为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值． 规范解答 (1) 如图1，作OH⊥AB，设垂足为H，记OH＝d，α＝2∠AOH，因为cos∠AOH＝，(1分)要使α有最小值，只需要d有最大值，结合图像可得，d≤OP＝5 km，(3分)当且仅当AB⊥OP时，dmax＝5 km.此时αmin＝2∠AOH＝2＝.(4分)设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S，由题意得S＝f(α)＝S扇形－S△AOB＝50(α－sinα)，(6分)f′(α)＝50(1－cosα)≥0恒成立，所以f(α)为增函数，(7分)所以Smin＝f＝50－ km2.(8分)答：视角的最小值为，较小区域面积的最小值是50－km2.(9分)图1(2) 如图2，过O分别作OH⊥AB，OH1⊥CD，垂足分别是H，H1，记OH＝d1，OH1＝d2，由(1)可知d1∈[0,5]，所以d＋d＝OP2＝25，且d＝25－d，(10分)因为AB＝2，CD＝2，所以AB＋CD＝2(＋) ＝2(＋)，(11分)记L(d1)＝AB＋CD＝2(＋)，可得L2(d1)＝4[175＋]，(12分)由d∈[0,25]，可知d＝0或d＝25时，L2(d1)的最小值是100(7＋4)，从而AB＋CD的最小值是(20＋10) km.(13分)答：两条公路长度和的最小值是(20＋10) km.(14分)图2解后反思 (1) 主要利用OP为定值这一条件，从而根据垂径定理得出取得最值的特殊位置来解题；(2) 利用OP为定值和勾股定理构造基本不等式解题．【变式3】(2017南京、盐城二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b.(1) 当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；(2) 试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值． 思路分析 (1) 纸盒侧面积S(x)是关于x的函数，即求S(x)max.(2) 先猜想并证明a＝b时，底面积取最大，这样问题变为求体积关于x的函数的最大值．规范解答 (1) 当a＝90时，b＝40，纸盒的底面矩形的长为90－2x，宽为40－2x，周长为260－8x.所以纸盒的侧面积S(x)＝(260－8x)x＝－8x2＋260x，其中x∈(0,20)，(3分)故S(x)max＝S＝.答：当a＝90时，纸盒侧面积的最大值为平方厘米．(6分)(2) 纸盒的体积V＝(a－2x)(b－2x)x，其中x∈，a≥b＞0，且ab＝3 600.(8分)因为(a－2x)(b－2x)＝ab－2(a＋b)x＋4x2≤ab－4x＋4x2＝4(x2－60x＋900)，当且仅当a＝b＝60时取等号，所以V≤4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)．(10分)记f(x)＝4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)，则f′(x)＝12(x－10)(x－30)，令f′(x)＝0，得x＝10，列表如下：x(0,10)10(10,30)f′(x)＋0－f(x)极大值由上表可知，f(x)的极大值是f(10)＝16 000，也是最大值．(12分)答：当a＝b＝60，且x＝10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000 立方厘米．(14分)【变式4】(2016盐城三模）一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连结AE，EF，FA，使得∠EAF＝45. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为2105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？ 规范解答 设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.则T＝2105S＋105(1－S)＝105(S＋1)，从而只要求S的最小值即可．(2分)设∠EAB＝α(0<α<45)，在△ABE中，因为AB＝1，∠B＝90，所以BE＝tanα，则S△ABE＝ABBE＝tanα，(4分)又∠DAF＝45－α，同理得S△ADF＝tan(45－α)，(6分)所以S＝[tanα＋tan(45－α)]＝tanα＋，(8分)令x＝tanα∈(0,1)，S＝ ＝＝(10分) ＝≥(2－2)＝－1，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时取等号．(12分)从而三个区域的总投入T的最小值约为105元．(14分)题型二 利用基本不等式解决利润的最值问题知识点拨：与利润有关的问题关键是要认真审题，只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式，要特别注意函数的定义域和单位的统一。
例2、(2019南京学情调研）销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P＝；销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q＝bt，其中a，b为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f(x)万元．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使得利润总和最大，并求最大值． 规范解答 (1)由题意P＝，Q＝bt，故当t＝3时，P＝＝，Q＝3b＝1. (3分)解得a＝3，b＝. (5分)所以P＝，Q＝t.从而f(x)＝＋，x∈. (7分)(2)由(1)可得f(x)＝＋＝－. (9分)因为x∈，所以x＋1∈，故＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时取等号．从而f(x)≤－2＝. (11分)所以f(x)的最大值为 .答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是万元．(14分)【变式1】(2018南京学情调研）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任。
