初中数学：二次函数复习资料.docx

最值二次函数考点一、二次函数的概念和图像 （3~8 分） 1、二次函数的概念一般地，如果y =ax 2 +bx +c ( a, b, c是常数，a ¹0)，那么 y 叫做 x 的二次函数y =ax2+bx +c ( a, b, c是常数，a ¹0)叫做二次函数的一般式2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x =-b2 a对称的曲线，这条曲线叫抛物线抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线 画出对称轴（2）求抛物线y =ax 2 +bx +c与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找 到点 C 的对称点 D将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到 二次函数的图像当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D 由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图如果需要画出比较精确的图像，可再描出 一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

考点二、二次函数的解析式 （10~16 分）二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y =ax2+bx +c ( a, b, c是常数，a ¹0)（2）顶点式：y =a( x -h )2+k ( a , h, k是常数，a ¹0)（3）当抛物线y =ax 2 +bx +c与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax 2 +bx +c =0有实根 x 和 x 存在时，根据二次三项式的分解因式 1 2ax2+bx +c =a ( x -x )( x -x )1 2，二次函数y =ax2+bx +c可转化为两根式y =a ( x -x )( x -x )1 2如果没有交点，则不能这样表示考点三、二次函数的最值 （10 分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 b 4 ac -b 2x =- 时， y = 2a 4 a4 a如果自变量的取值范围是x £x £x 12，那么，首先要看-b2 a是否在自变量取值范围x £x £x 12内，若在此范围内，则当x=-b2a4 ac -b 2时， y = ；若不在此范围内，则 最值需要考虑函数在x £x £x 12范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当x =x2时，y最大=ax22+bx +c2，当x =x1时，y最小=ax 21+bx +c1；如果在此范围内，y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 则 当x =x1时 ，y最大=ax 2 +bx +c1 1， 当x =x2时 ，y最小=ax22+bx +c2。

考点四、二次函数的性质 （6~14 分） 1、 二次函数的性质函数二次函数y =ax 2 +bx +c ( a, b, c是常数，a ¹0)a>0a<0yy图像0 x（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；0 x（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=-b b b b ，顶点坐标是（ - ， （2）对称轴是 x= - ，顶点坐标是（ - ，2 a 2 a 2a 2 a4 ac -b4 a2）；4 ac -b4 a2）；性质（3）在对称轴的左侧，即当 x<-b b时，y 随 x （3）在对称轴的左侧，即当 x< - 时，y 随 x 2 a 2 a的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x>-b2 a时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右-b2 a时，y 随 x 的增大而减小，简记左增增；右减；（4）抛物线有最低点，当 x=-b b时，y 有最小 （4）抛物线有最高点，当 x= - 时，y 有最 2 a 2 a值，y最小值=4 ac -b4 a2大值，y最大值=4 ac -b4 a2（1）函数 y＝ax 2 ＋bx＋c(其中 a、b、c 是常数，且 a ¹ 0) 叫做的二次函数．b 4 ac -b 2（2）利用配方，可以把二次函数表示成 y＝a(x＋ ) 2 ＋ 或 y＝a(x2a 4a－h)2＋k 的形式（3）二次函数的图象是抛物线，当 a＞0 时抛物线的开口向上，当 a＜0 时 抛物线开口向下．抛物线的对称轴是直线 x＝－b2a或 x＝hb 4 ac -b 2抛物线的顶点是(－ ， )或(h，k)2a 4a2、二次函数y =ax2+bx +c ( a, b, c是常数，a ¹0) 中， a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0 时，抛物线开口向上ab<0 时，抛物线开口向下与对称轴有关：对称轴为 x=-b2 ac表示抛物线与 y 轴的交点坐标：（0， c ）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的D=b2-4 ac，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点当当DD>0 时，图像与 x 轴有两个交点； =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 D<0 时，图像与 x 轴没有交点补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点 A 坐标为（x ，y ）点 B 坐标为（x ，y ）1 1 2 2则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为(x-x12)2+(y-y12)2A0xB2222222222、函数平移规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很 大帮助，可以大大节省做题的时间）三、学习的过程：分层练习（A 组）一、选择题：1．为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降 价．若设平均每次降价的百分率为 x，该药品的原价是 m 元，降价后的价格是 y 元，则 y 与 x 的函数关系式是（ ）（A）y＝2m(1－x) （B）y＝2m(1＋x)（D）y＝m(1＋x)12 ．抛物线 y =- x 2 +x -4 的对称轴是（ ）4A、x＝－2 B、x＝2 C、x＝－4 D、x＝4 3．抛物线 y＝2(x－3) 的顶点在（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. x 轴上 D. y 轴上二、填空题：（ C ） y ＝ m(1 － x)1.抛物线y =x 2 -2 x -3与 x 轴分别交 A、B 两点，则 AB 的长为________．2．若将二次函数 y＝x －2x＋3 配方为 y＝(x－h) ＋k 的形式，则 y＝__________ ． 三、解答题(写出问题中的函数关系式及自变量的取值范围)在一个半径为 10 cm 的圆形纸片中剪去一个半径为 r（cm）的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为 S（cm），求 S 关于 r 的函数关系式．四、综合题5 3已知一个二次函数的图象经过 A(－2， )、B(0， - )和 C(1，－2)三点．2 2（1） 求出这个二次函数的解析式；（2） 通过配方，求函数的顶点 P 的坐标；（3） 若函数的图象与 x 轴相交于点 E、F，（E 在 F 的左边），求出 E、F 两点 的坐标．（4） 作出函数的图象并根据图象回答：当 x 取什么时，y＞0，y＜0，y＝0答案1 ．选择题： CBC2 ．填空题：1．4 2.y＝(x－1) ＋2三、解答题：s＝100 p－ pr 2 (0＜r＜10)四.①y＝0.5x －x－1.5②y＝0.5(x－1) －2 p(1，－2)③E( －1，0 ) F(3，0)④ 图略．当 X＜－1 或 X＞3 时 y＞0 .当－1＜X＜3 时 y＜0 当 X＝－1，X＝3 时 y＝0第 26 章 二次函数26.1 二次函数26.2 用函数观点看一元二次方程 26.3 实际问题与二次函数第二十六章 二次函数一．知识框架二．.知识概念1. 二次函数：一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0， a、b、c 为常数)，则称 y 为 x 的二次函数。

2. 二次函数的解析式三种形式一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0)顶点式y =a( x -h )2+ky =a ( x -b 4ac -b ) 2 +2 a 4a2交点式y =a( x -x )( x -x )1 23.二次函数图像与性质y对 称 轴 ：x =-b2a顶 点 坐O x标：( -b 4ac -b 2 , )2 a 4 a与 y 轴交点坐标（0，c）4. 增减性：当 a>0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而减小；对称轴右边，y 随 x 增大而增大 当 a<0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而增大；对称轴右边，y 随 x 增大而减小5. 二次函数图像画法：勾画草图关键点 1 开口方向 对称轴 顶点 。