等差数列及其通项公式.ppt

等差数列及其通项公式等差数列及其通项公式一般地，如果一个数列 a a1 1,a,a2 2,a,a3 3 ，，……，，a an n…… 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d， a2￿–￿a1￿=￿a3￿-￿a2￿=￿···￿=￿an￿-￿an-1￿=￿···￿=￿d 那么这个数列就叫做等差数列常数d叫做等差数列的公差知识回顾知识回顾an+1-an=d(n∈∈N * *)通通 项项 公公 式式 的的 推推 导导1 1（归纳猜想）（归纳猜想）设一个等差数列设一个等差数列{ {an n} }的首项是的首项是a1 1, ,公差是公差是d,d,则有：则有： a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,…所以有：所以有：a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d 当当当当n=1n=1n=1n=1时，上式也成立时，上式也成立时，上式也成立时，上式也成立所以等差数列的通项公式是：所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d（（n∈∈N* *））问问an=?=? 通过观察：通过观察：a2，， a3，，a4都可以用都可以用a1与与d 表示出来表示出来；；a1与与d的系数有什么特点？的系数有什么特点？a1 1 、、an n、、n、、d知三知三求一求一…a2=a1+ d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,      …an=a1+(n-1)da2=a1+d,a3=a2+d  = (a1+d) + d = a1+ 2da4=a3+d  = (a1+2d) +d =a1+3d叠加得叠加得…等差数列的通项公式推导等差数列的通项公式推导2（叠加）（叠加）例１　第一届现代奥运会于例１　第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每年在希腊雅典举行，此后每4年年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。

举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算 （（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式 （（2））2008年北京奥运会是第几届？年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？年举行奥运会吗？解解:（（1）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，为首项，4为公差的等差数列这个数列的通项公式为为公差的等差数列这个数列的通项公式为 an=1896+4(n-1) =1892+4n(n∈∈N*) (2) 假设假设an=2008, 由由 2008=1892+4n, 得得 n=29.　　　　　　 假设假设an=2050,2050=1892+4n 无正整数解．无正整数解．　　答：所求通项公式为　　　答：所求通项公式为　 an= 1892+4n(n∈∈N*) ，，　　　　　　2008年北京奥运会是第年北京奥运会是第29届，届，2050年不举行奥运会　　　年不举行奥运会　　　例２例２.在等差数列｛在等差数列｛an｝中｝中,已知已知a3=10, a9=28,求求a12 。

推广：推广：等差数列等差数列｛｛an｝｝中中，，am,an(n>m)等差数列的通项公式一般形式等差数列的通项公式一般形式: an = am + (n－－m)d. 解：由题意得解：由题意得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a1+2d=10a1+8d=28所以　　所以　　a12=4+(12-1) ×3=37注注:a12=a1+11d=a1+2d+(12-3)d=a3+(12-3)d =a1+8d+(12-9)d=a9+(12-9)d解得：解得： a1=4 d=3练一练练一练：已知：已知a5=11, a8=5, 求等差数列｛求等差数列｛an｝的通项公｝的通项公式式.练　练　习习1 1、填空题：、填空题：　　(1)(1)已知等差数列已知等差数列3 3，，7 7，，1111，，…，则，则a11= (2)(2)已知等差数列已知等差数列1111，，6 6，，1 1，，…，则，则an = (3)(3)已知等差数列已知等差数列1010，，8 8，，6 6，， …，中，，中，-10是第（是第（ ）项）项43-5n+1611练　习练　习2.已知等差数列｛已知等差数列｛an｝的通项公式为｝的通项公式为an=2n – 1. 求首项求首项a1和公差和公差d.变式引申变式引申:如果一个数列｛如果一个数列｛an｝的通项公式｝的通项公式an=kn+d,其中其中k,b都是常数都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗那么这个数列一定是等差数列吗?语言描述这种现象语言描述这种现象想一想！想一想！ 在等差数列在等差数列中，中，为公差，若公差，若且且求求证：： 证明：证明：  设首项为设首项为，，则例例2.等差数列的性质等差数列的性质•若p=q呢?练习练习 .在在等差数列等差数列{an}中中(1)  已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20(2））已知已知 a3+a11=10，，求求  a6+a7+a8分析：由分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，，可得可得a1+a20=10分析：分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，，又已知又已知 a3+a11=10，，∴∴ a6+a7+a8=   （（a3+a11））=15例题分析例题分析1 1. .等差数列等差数列{ {an} }的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，，2 2a -5-5，，-3-3a +2 2，，则则 a 等于（等于（ ) ) A . -. -1 1 B . . 1 1 C . .-2 -2  D.  2B2. 在在数列数列{an}中中a1=1，，an= an+1+4，则，则a10=        2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6-6)提示提示1:提示：提示：d=an+1—an=4 -353. 在在等差数列等差数列{an}中中  (1)   若若a59=70，，a80=112，求，求a101；；  (2)   若若ap= q，，aq= p ( p≠q )，求，求ap+qd=2,a101=154d= -1, ap+q =0课堂练习课堂练习(4)•例3练　习练　习已知已知 ，求，求 的值。

的值解解:小结小结★★掌握等差数列的通项公式，并能运用公式掌握等差数列的通项公式，并能运用公式解决一些简单的问题解决一些简单的问题　　　　an=a1+(n－－1)d★ ★ 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力a am m+ +a an n= =a ap p+ +a aq q②②上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，否则不成立如的项，否则不成立如a a1 1+ +a a2 2= =a a3 3 成立吗？成立吗？ 【【说明说明】】 3. 3.更一般的情形，更一般的情形，a an n= = ，，d d= = 1. 1. { {a an n} }为等差数列为等差数列 2. 2. a a、、b b、、c c成等差数列成等差数列 a an n+1+1- - a an n=d=da an n+1+1=a=an n+d+da an n= = a a1 1+ +( (n-n-1) 1) d da an n= = kn + bkn + b （（k k、、b b为常数）为常数）a am m+ +( (n n - - m m) ) d db b为为a a、、c c 的等差中项的等差中项2 2b= a+cb= a+c4.4.在在等差数列等差数列{ {a an n} }中，由中，由 m+n=p+q m+n=p+q 注意：注意：①①上面的命题的逆命题上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的；     等差数列的性质等差数列的性质5 5. . 在等差数列在等差数列{ {a an n} }中中a a1 1+ +a an n a a2 2+ + a an-n-1 1 a a3 3+ + a an-n-2 2 ……= == == =　作　业　作　业书上书上39页，第页，第3题（题（2），第），第4题题　　谢　　谢 谢！谢！。