高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案.docx

圆锥曲线1. 圆锥曲线的两定义 ：第一定义 中要 重视“括号”内的限制条件 ：椭圆中 ，与两个定点F 1 ， F 2 的距离的和等于常数2a ，且此 常数 2a 一定要大于 F1 F2 ，当常数等于F1 F2 时，轨迹是线段 F 1 F 2，当常数小于 F1 F2 时，无轨迹； 双曲线中，与两定点F 1 ，F 2 的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数 2a 一定要小于 | F 1 F 2 | ，定义中的 “绝对值”与 2a＜ |F 1 F 2 | 不可忽视 若 2a ＝ |F 1 F 2 | ，则轨迹是以 F 1 ， F 2 为端点的两条射线，若2a ﹥|F1 F 2 | ，则轨迹不存在若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支如 方 程 ( x 6)2y2( x6)2y28 表 示 的曲线是 _____（答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心 （顶点） 在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） ：（ 1 ） 椭 圆 ： 焦 点 在 x 轴 上 时 x 2y 2 1a2b 2b 0 ）， 焦 点 在 y 轴 上 时 y22（ a2x2 ＝ 1（ ab 0）。

方程 Ax2By2abC 表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC ≠ 0，且 A ， B ，C 同号， A ≠ B ）若 x, yR ，且 3x22 y26 ，则 xy 的最大值是 ____， x2y 2 的最小值是 ___（答：5,2 ）22（ 2）双曲线 ：焦点在 x 轴上： x 2y2 =1 ，焦ab点 在 y 轴 上 ： y 2x2 ＝ 1 （ a 0, b0 ） 方 程Ax2By 2a 2b2C 表示双曲线的充要条件是什么？（ ABC≠ 0，且 A ，B 异号）如 设中心在坐标原点 O ，焦点 F1 、 F2 在坐标轴上，离心率 e2的双曲线 C过点 P(4, 10) ，则 C的方程为 _______（答： x2y 26 ）（ 3）抛物线 ：开口向右时y22 px( p 0) ，开口 向 左 时y 22 px( p0) ，开 口 向 上 时x22 py( p0) ，开口向下时x22 py( p 0) 3. 圆锥曲线焦点位置的判断 （首先化成标准方程， 然后再判断）：（ 1）椭圆 ：由 x 2 , y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程x 2y2y 轴m 121表示焦点在m上的椭圆，则 m 的取值范围是 __（答：( , 1)(1, 3) ）2（ 2）双曲线 ：由 x 2 , y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（ 3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向提醒 ：在椭圆中，a 最大， a2b2c2 ，在双曲线中， c 最大， c2a2b24. 圆锥曲线的几何性质 ：（ 1）椭圆（以 x 2y 21（ ab0 ）为例）：a 2b2① 范围 ： ax a,b yb ；② 焦点 ：两个焦点( c,0) ；③ 对称性 ：两条对称轴 x0, y0 ，一个对称中心（ 0,0 ），四个顶点 ( a,0),(0,b) ，其中长轴长为 2 a ，短轴长为 2 b ；④ 准线 ：两条准线 xa2； ⑤cc离心率 ： e0e 1， e 越小，椭圆越，椭圆a圆； e越大，椭圆越扁如（ 1）若椭圆 x2y 21的离心率 e10 ，则 m5m5的值是 __（答： 3 或 25 ）；3形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为 __（答：2 2 ）（ 2 ）双曲线 （以x2y21 （ a0, b0 ）为a2b2例）：① 范围 ： xa 或 xa, y R ；② 焦点 ：两个焦点 ( c,0) ；③ 对称性 ：两条对称轴 x0, y0 ，一个对称中心（0,0 ），两个顶点 (a,0) ，其中实轴长为2 a ，虚轴长为2 b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线， 其方程可设为x2y2k, k 0 ；④ 准线 ：两条准线xa2； ⑤离心率： ec ，双ca曲线e 1，等轴双曲线e2 ， e越小， 开口越小， e越大，开口越大； ⑥ 两条渐近线 ： yb x 。

3 ）抛物线 （以 y2a2 px( p0) 为例）：① 范围 ：x0, y R ；②焦点：一个焦点( p ,0) ，其中 p 的几2何意义是： 焦点到准线的距离； ③ 对称性 ：一条对称轴y 0 ，没有对称中心， 只有一个顶点 （ 0,0）；④准线 ：一条准线p；⑤ 离心率 ： ecx，抛物线2ae 1 如 设 a 0, a R，则抛物线 y 4ax2 的焦点坐标为________ （答： ( 0, 1 ) ）；16ax2y 21（a b0 ）的关5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆2b2ax02y02系：（1）点 P(x0 , y0 ) 在椭圆外1；（ 2）a2b2点 P( x0 , y0 ) 在 椭 圆 上x02y02＝ 1 ；（ 3 ） 点a 2b 2x02y021P(x0 , y0 ) 在椭圆内b2a26．直线与圆锥曲线的位置关系：（ 1）相交 ：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点， 故0 是直线与双曲线相交的充分条件， 但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0 ，当直线与抛物线的对称轴平行时， 直线与抛物线相交且只有一个交点，故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

2 ）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（ 3 ）相离 ：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离提醒 ：（ 1）直线与双曲线、 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 ：相切和相交 如果直线与双曲线的渐近线平行时 ,直线与双曲线相交 ,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时 ,直线与抛物线相交 ,也只有一个交点； （ 2）过双曲线 x2y2a2b2 ＝ 1 外一点P(x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：① P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线， 共四条； ②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③ P 在两条渐近线上但非原点， 只有两条： 一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； ④P 为原点时不存在这样的直线； （ 3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ： Sb2 tanc | y0 | ，当2| y0 | b 即 P 为短轴端点时，Smax 的最大值为bc；对b 2。

如 （ 1）短轴长为5，于双曲线 Stan22练习：点 P 是双曲线上 x 2 y 1上一点， F1 , F2 为12双曲线的两个焦点， 且 PF1 PF2 =24，求 PF1 F2 的周长8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 ：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切； （2）设 AB为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点， 则∠ AMF＝∠ BMF；（ 3）设 AB为焦点弦， A、B 在准线上的射影分别为A1 ，B1 ，若 P 为 A1 B1 的中点，则 PA⊥PB；（ 4）若 AO的延长线交准线于 C，则 BC平行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A， O， C三点共线9、弦长公式 ：若直线 y kx b 与圆锥曲线相交于两点 A 、 B，且 x1, x2 分别为 A 、 B 的横坐标，则 AB ＝1k2x1x2，若 y1, y2 分别为 A 、B 的纵坐标，则AB ＝112y1 y2 ，若弦 AB 所在直线方程设为kxkyb ，则 AB ＝ 1 k2 y1 y2 特别地，焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算， 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

10、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解在椭圆 x2y 21中，以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在a2b2直线的斜率b2 x0；k= －2 y0a弦所在直线的方程：垂直平分线的方程：在双曲线 x2y21中，以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在a2b2。