有限与无限的问题65张幻灯片.ppt

有限与无限的问题有限与无限的问题 数学文化数学文化课程组课程组1高等数学与初等数学的区别？高等数学与初等数学的区别？2更加全面；更加全面；更加深刻；更加深刻；更加细微；更加细微；更加本质；更加本质；更加理论化；更加理论化；更加系统化；更加系统化；3高等数学与初等数学的区别？高等数学与初等数学的区别？从从 研究研究“常量常量”发展到研究发展到研究“变量变量”从从 研究研究“有限有限”发展到研究发展到研究“无限无限”初等数学更多地在初等数学更多地在“有限有限”的领域里的领域里讨论，更多地以讨论，更多地以“有限有限”为手段和工具进为手段和工具进行讨论；行讨论；高等数学则更多地在高等数学则更多地在“无限无限”的领域的领域里讨论，更多地以里讨论，更多地以“无限无限”为手段和工具为手段和工具进行讨论进行讨论4什么是悖论什么是悖论 悖论：从悖论：从“正确正确”的前提出发，经过的前提出发，经过“正确正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论的逻辑推理，得出荒谬的结论悖论（悖论（paradox）具体是指：由一个被承认是）具体是指：由一个被承认是真的命题为前提，设为真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，；反之，以非以非B为前提，亦可推得为前提，亦可推得B。

那么命题那么命题B就是一个就是一个悖论所谓正确所谓正确5 例如：例如：“甲甲 是是 乙乙”与与 “甲甲 不是不是 乙乙”这两个命题中总有一个是错的；这两个命题中总有一个是错的；但但 “本句话本句话 是是 七个字七个字”与与 “本句话本句话 不是不是 七个字七个字”又均是对的，这就是悖论又均是对的，这就是悖论6 再如：再如：“万物皆数万物皆数”学说认为学说认为“任何数任何数都可表为整数的比都可表为整数的比”；但以；但以1 1为边的正方形为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论7 1.1.外祖母悖论外祖母悖论 我会穿梭时空，回到过去，把我自己的外祖母杀了我外我会穿梭时空，回到过去，把我自己的外祖母杀了我外祖母没了，我妈就没了，我也就没了而我没了，就没有人杀祖母没了，我妈就没了，我也就没了而我没了，就没有人杀我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了而有了我，外祖我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了而有了我，外祖母就没了，我也就没了母就没了，我也就没了这就是悖论，自己与自己就有矛盾这就是悖论，自己与自己就有矛盾3.“3.“说谎者循环说谎者循环”A A说：说：“下面是句谎话。

下面是句谎话B B说：说：“上面是句真话上面是句真话2.2.说谎者悖论说谎者悖论自指引发的悖论自指引发的悖论 “我正在说谎我正在说谎”有克利特人中的一个本地中先知说：有克利特人中的一个本地中先知说：“克利特人常说谎话，乃是恶兽，克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒又馋又懒”(圣经圣经提多书提多书第一章第一章)物理学中物理学中“平行宇宙平行宇宙”这一理论中，世界不是只有一个，而是有许多平行这一理论中，世界不是只有一个，而是有许多平行的世界存在，按照如今的历史过程：罗马帝国时代、大的世界存在，按照如今的历史过程：罗马帝国时代、大英帝国时代、工业时代、第一次世界大战、第二次世界英帝国时代、工业时代、第一次世界大战、第二次世界大战、电脑网络大战、电脑网络如果将整个工业时代去掉，那至此如果将整个工业时代去掉，那至此以后的历史轨迹将会得到巨大的改变，或者两次世界大以后的历史轨迹将会得到巨大的改变，或者两次世界大战都不会出现，又或者世界大战将会在我们的另外一个战都不会出现，又或者世界大战将会在我们的另外一个平行的世界里存在，也就是说另外一个世界如今的我们平行的世界里存在，也就是说另外一个世界如今的我们可能正在遭受着战争的阴影。

这个时候可能正在遭受着战争的阴影这个时候“外祖母悖论外祖母悖论”就有了合理的解释：一个人可以回到过去杀死自己的外就有了合理的解释：一个人可以回到过去杀死自己的外祖母，但这将导致世界进入两个不同的轨道，一条中有祖母，但这将导致世界进入两个不同的轨道，一条中有那个人（原先的轨道），而另一条中没有那个人那个人（原先的轨道），而另一条中没有那个人The Time MachineThe Matrix 一、芝诺悖论一、芝诺悖论-由无限引出的由无限引出的 芝诺（前芝诺（前490490？前前430430？）是（南意大利的）爱？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生他企图证明该利亚学派创始人巴门尼德的学生他企图证明该学派的学说：学派的学说：“多多”和和“变变”是虚幻的，不可分是虚幻的，不可分的的“一一”及及“静止的存在静止的存在”才是唯一真实的；运才是唯一真实的；运动只是假象于是他设计了四个例证，人称动只是假象于是他设计了四个例证，人称“芝芝诺悖论诺悖论”这些悖论是从哲学角度提出的这些悖论是从哲学角度提出的131）两分法向着一个目的地运动的物体，首先要先走完向着一个目的地运动的物体，首先要先走完路程的路程的1/2，再走完剩下总路程的，再走完剩下总路程的1/2，再走，再走完剩下的完剩下的1/2如此类推，以至无穷，永远不能如此类推，以至无穷，永远不能到达终点。

到达终点结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的不可能开始的2）阿基里斯阿基里斯(Achilles)悖论悖论：阿基里斯追不上乌龟阿基里斯追不上乌龟153）飞矢不动悖论）飞矢不动悖论一支飞行的箭是静止的：一支飞行的箭是静止的：由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态是静止的，因此箭就不能处于运动状态4）“操场或游行队伍”A、B两件物体以等速向相反方向运动从静两件物体以等速向相反方向运动从静止的止的C看来，比如说，看来，比如说，A、B都在都在1小时内移动小时内移动了了2公里；可是，从公里；可是，从A看来，则看来，则B在在1小时内就小时内就移动了移动了4公里由于公里由于B保持等速移动，所以移保持等速移动，所以移动动2公里的时间应该是移动公里的时间应该是移动4公里时间的一半公里时间的一半因而一半的时间等于两倍的时间因而一半的时间等于两倍的时间2.症结症结“有限与无限有限与无限”的矛盾的矛盾 无限段长度的和，可能是有限的；无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。

无限段时间的和，也可能是有限的3.芝诺悖论的意义：芝诺悖论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的）较早的“反证法反证法”及及“无限无限”的思想的思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？空间和时间有没有最小的单位？18 芝诺的前两个悖论是反对芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连空间和时间是连续的续的”，后两个悖论则是反对，后两个悖论则是反对“空间和时间是离空间和时间是离散的散的”在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，以，“运动只是假象，不动不变才是真实运动只是假象，不动不变才是真实”芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献说是巨大的贡献19book.huihoo/paradox-box/从惊讶到思考从惊讶到思考数学悖论奇景数学悖论奇景二、二、“有无限个房间有无限个房间”的旅馆的旅馆 1.“客满客满”后又来后又来1位客人位客人（“客满客满”？）？）1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了空出了1 1号房间号房间 21 2.客客满满后后又又来来了了一一个个旅旅游游团团，旅旅游游团团中有无穷个客人中有无穷个客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间空下了奇数号房间 22 3.客满后又来了一万个旅游团，每个团客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人中都有无穷个客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间给出了一万个、又一万个的空房间 23全面、深刻地揭示本质的回答全面、深刻地揭示本质的回答是容易推广的。

是容易推广的24 2.客客 满满 后后 又又 来来 了了 一一 个个 旅旅 游游 团团，旅旅 游游 团团中有无穷个客人中有无穷个客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间空下了奇数号房间 共两个这样的旅游团，所以把房间两个一份、两个一共两个这样的旅游团，所以把房间两个一份、两个一份地分，可以让两个旅游团的份地分，可以让两个旅游团的1 1号客人、号客人、2 2号客人、号客人、分别入住分别入住25 3.客满后又来了一万个旅游团，每个团客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人中都有无穷个客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间给出了一万个、又一万个的空房间 26全面、深刻地揭示本质的回答全面、深刻地揭示本质的回答是容易推广的是容易推广的该旅馆客满后又来了该旅馆客满后又来了9857个旅游团，每个团个旅游团，每个团中都有无穷个客人，如何安排？中都有无穷个客人，如何安排？该旅馆客满后又来了该旅馆客满后又来了10亿个旅游团，每个团亿个旅游团，每个团中都有无穷个客人，如何安排？中都有无穷个客人，如何安排？27是否有人想提什么问题？是否有人想提什么问题？28 4.该旅馆客满后又来了无穷个旅游该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？否安排？“无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清”-Hilbert29三、无限与有限的区别和联系三、无限与有限的区别和联系 1.区别区别 1 1）在无限集中，在无限集中，“部分可以等于全体部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。

部分总是小于全体30 当初的当初的伽利略悖论伽利略悖论，就是因为没有看到，就是因为没有看到 “无限无限”的这一个特点而产生的的这一个特点而产生的1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由元素个数相等；但由“部分小于全体部分小于全体”，又推，又推出两集合的元素个数不相等这就形成悖论出两集合的元素个数不相等这就形成悖论31 2.2.）“有限有限”时成立的许多命题，对时成立的许多命题，对“无无限限”不再成立不再成立 （1 1）实数加法的结合律）实数加法的结合律 在在“有限有限”的情况下，加法结合律的情况下，加法结合律 成立成立:(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)，a a，b b，c c 32 在在“无限无限”的情况下，加法结合律不的情况下，加法结合律不再成立如再成立如33 （2 2）有限级数一定有）有限级数一定有“和和”是个确定的数是个确定的数 无穷级数一定有无穷级数一定有“和和”则不是个确定的数。

称为该则不是个确定的数称为该 级数级数“发散发散”反之称为反之称为“收敛收敛”34 2.2.联系联系 在在“有限有限”与与“无限无限”间建立联系的手段，往间建立联系的手段，往往很。