2005年考研数学一真题及答案-.doc

2005年考研数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分答案写在题中横线上）(1) 曲线y=x22x+1的斜渐近线方程为 答案】y=12x-14【解析】a=limx→∞yx=limx→∞x22x+1x=12b=limx→∞y-ax=limx→∞x22x+1-12x=limx→∞-x2(2x+1)=-14所以斜渐近线方程为y=12x-14综上所述，本题正确答案是y=12x-14考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2) 微分方程xy+2y=xlnx满足y1=-19的解为 答案】y=13xlnx-19x【解析】原方程等价于y+2yx=lnx所以通解为y=e-2xdxlnx∙e2xdxdx+C=1x2∙x2lnx+C =13xlnx-19x+C1x2将y1=-19代入可得C=0综上所述，本题正确答案是y=13xlnx-19x考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3) 设函数ux,y,z=1+x26+y212+z218,单位向量n=13{1,1,1}，则∂u∂n(1,2,3)= 答案】33 【解析】因为 ∂u∂x=x3,∂u∂y=y6,∂u∂z=z9所以∂u∂n(1,2,3)=13∙13+13∙13+13∙13=33综上所述，本题正确答案是33。

考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(4) 设Ω是由锥面z=x2+y2与半球面z=R2-x2-y2围成的空间区域，Σ是Ω的整个边界的外侧，则Σ xdydz+ydzdx+zdxdy= 答案】2π(1-22)R3解析】Σ xdydz+ydzdx+zdxdy=Ω 3dxdydz=30Rρ2dρ0π4sinφdφ02πdθ=2π(1-22)R3 综上所述，本题正确答案是2π(1-22)R3考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(5) 设α1,α2,α3均为三维列向量，记矩阵A=α1,α2,α3,B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3)如果A=1，那么B= 答案】2解析】【方法一】B=|α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3| =|α1+α2+α3,α2+3α3,α2+5α3| =α1+α2+α3,α2+3α3,2α3 =2α1+α2+α3,α2+3α3,α3 =2α1+α2+α3,α2,α3=2α1,α2,α3=2A=2【方法二】由于B=α1,α2,α3111123149= A111123149两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以B=A111123149=2A=2综上所述，本题正确答案是2。

考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理(6) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,2,⋯,X中任一个数，记为Y,则PY=2= 答案】1348解析】【方法一】先求出(X,Y)的概率分布，因为X是等可能的取1,2,3,4，故(X,Y)关于X的边缘分布必有PX=i=14,i=1,2,3,4,而Y只从1,2,⋯,X中抽取，又是等可能抽取1,2,⋯,X的概率为14X所以PX=i,Y=j=0,j>i14i,j≤i 即：X Y1234114 00014 218 18 0014 3112 112 112 014 4116 116 116 116 14 所以PY=2=18+112+116=1348【方法二】PY=2=i=14PX=iPY=2|X=i =i=1414PY=2|X=i =140+12+13+14=1348综上所述，本题正确答案是1348考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

7) 设函数fx=limn→∞n1+|x|3n,则f(x)(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)恰有三个不可导点【答案】C解析】由limn→∞na1n+a2n+⋯+amn=1≤i≤mmaxai(ai>0)知fx=limn→∞n1+|x|3n =max1,x3=1,|x|≤1x3,x>1由y=f(x)的表达式和其图像可知f(x)在x=1处不可导，在其余点均可导xy=-x31y=x3y综上所述，本题正确答案是C考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(8) 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M⇔N"表示M的充分必要条件是N，则必有(A) F(x)是偶函数⇔ f(x)是奇函数(B) F(x)是奇函数⇔ f(x)是偶函数(C) F(x)是周期函数⇔ f(x)是周期函数(D) F(x)是单调函数⇔ f(x)是单调函数【答案】A解析】【方法一】若F(x)是偶函数，由导函数的一个基本结论“可导的偶函数其导函数为奇函数”，反之，若f(x)为奇函数，则0xf(t)dt为偶函数，f(x)的任意一个原函数可表示为Fx=0xf(t)dt+C则Fx是偶函数，故应选A。

方法二】排除法：取fx=cosx+1,Fx=sinx+x+1，显然fx连续，Fx=f(x),且f(x)是偶函数，周期函数但Fx不是奇函数(F(0)≠0),也不是周期函数，排除B和C选项若取fx=x,Fx=12x2,排除D，故应选A综上所述，本题正确答案是A考点】高等数学—一元函数积分学—原函数和不定积分的概念，积分上限的函数及其导数(9) 设函数ux,y=φx,y+φx-y+x-yx+yψ(t)dt,其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有(A)∂2u∂x2=-∂2u∂y2 (B) ∂2u∂x2=∂2u∂y2(C) ∂2u∂x∂y=∂2u∂y2 (D) ∂2u∂x∂y= ∂2u∂x2【答案】B解析】∂u∂x=φx+y+φx-y+ψ(x+y)-ψ(x-y), ∂u∂y=φx+y-φx-y+ψ(x+y)+ψ(x-y) ∂2u∂x2= φx+y+φx-y+ψ(x+y)-ψ(x-y) ∂2u∂x∂y=φx+y-φx-y+ψ(x+y)+ψ(x-y) ∂2u∂y2=φx+y+φx-y+ψ(x+y)-ψ(x-y) 可见有∂2u∂x2=∂2u∂y2综上所述，本题正确答案是B。

考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数和全微分(10) 设有三元方程xy-zlny+ezx=1,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)【答案】D解析】Fx,y,z=xy-zlny+ezx-1则 Fx=y+ezxz , Fy=x-zy,Fz=-lny+ezxx且Fx0,1,1=2, Fy0,1,1=-1,Fz0,1,1=0由此可确定的隐函数为x=x(y,z)和y=y(x,z)综上所述，本题正确答案是D考点】高等数学—多元函数微分学—隐函数的求导法(11) 设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1,α2，则α1, A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是(A) λ1≠0 (B) λ2≠0(C) λ1=0 (D) λ2=0【答案】B。

解析】【方法一】设k1α1+k2 Aα1+α2=0即有k1+k2λ1α1+k2λ2α2=0 ①由于特征值不同特征向量线性无关，所以α1,α2线性无关，由①可得k1+k2λ1=0k2λ2=0α1, A(α1+α2)线性无关⇔k1=0k2=0⇔(2)只有零解⇔1λ10λ2≠0⇔λ2≠0【方法二】因为(α1, A(α1+α2))=(α1,λ1α1+λ2α2)= (α1,α2)1λ10λ2那么α1, A(α1+α2)线性无关⇔r(α1, Aα1+α2=2由于α1,α2线性无关，则α1, A(α1+α2)线性无关⇔r1λ10λ2=2⇔λ2≠0综上所述，本题正确答案是B考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系(12) 设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，则(A) 交换A*的第一列和第二列得B*(B) 交换A*的第一行和第二行得B*(C) 交换A*的第一列和第二列得-B*(D) 交换A*的第一行和第二行得-B*【答案】C解析】设A为3阶矩阵，因为A作初等行变换得到B，所以有010100001A=B ⇒ B-1=A-1010100001-1=A-1010100001从而B*|B|=A*|A|010100001又因为A=-|B|,故A*010100001=B*即交换A*的第一列和第二列得-B*综上所述，本题正确答案是C。

考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换(13) 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X Y0100.4a1b0.1已知随机事件{X=0}和{X+Y=1}相互独立，则(A)a=0.2,b=0.3 (B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2 (D)a=0.1,b=0.4【答案】B解析】由独立性可知PX=0，X+Y=1=PX=0P{X+Y=1}PX=0，X+Y=1=aPX=0=0.4+aPX+Y=1=a+b已知0.4+a+b+0.1=1⇒a+b=0.5所以有0.50.4+a=a⟹a=0.4 b=0.1综上所述，本题正确答案是B考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，随机变量的独立性和不相关性(14) 设X1,X2,⋯,Xn(n≥2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S2为样本方差，则(A)nX~ N(0,1) (B)nS2~χ2(n)(C)n-1XS~tn-1 (D)n-1X12i=2nXi2~F1,n-1【答案】D。

解析】X12~χ21, i=2nXi2~χ2n-1且X12与i=2nXi2相互独立，因此X12i=2nXi2/n-1=n-1X12i=2nXi2~F1,n-1综上所。