五年级育苗杯辅导资料(抽屉原理).doc

抽屉原理如果将 5 个苹果放到 3 个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于 2 个道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于 2 个，即放 1 个或不放，那么 3 个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于 3，这与有 5 个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于 2 个同样，有 5 只鸽子飞进 4 个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了 2 只鸽子以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”抽屉原理：将多于抽屉原理：将多于 n 件的物品任意放到件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于不少于 2 件说明这个原理是不难的假定这 n 个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到 2 件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有这样，n 个抽屉中所放物品的总数就不会超过 n 件，这与有多于 n 件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这 n 个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到 2 件”不能成立.从最不利原则也可以说明抽屉原理 1为了使抽屉中的物品不少于 2 件，最不利的情况就是 n 个抽屉中每个都放入 1 件物品，共放入 n 件物品，此时再放入 1 件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有 1 个抽屉不少于 2 件物品。

这就说明了抽屉原理例例 1 某幼儿园有 367 名 1996 年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？分析与解：分析与解：1996 年是闰年，这年应有 366 天把 366 天看作 366 个抽屉，将 367 名小朋友看作 367 个物品这样，把 367 个物品放进 366 个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品因此至少有 2 名小朋友的生日相同例例 2 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 3 整除？分析与解：因为任何整数除以 3，其余数只可能是 0，1，2 三种情形我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”一个整数除以 3 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以 3 的余数相同这两个数的差必能被 3 整除练习：1.某班 32 名小朋友是在 5 月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？2.班上有 50 名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？例 3 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是 3 的倍数？分析与解：根据例 2 的讨论，任何整数除以 3 的余数只能是 0，1，2。

现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论第一种情形有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以 3 后具有相同的余数因为这三个数的余数之和是其中一个余数的 3 倍，故能被 3 整除，所以这三个数之和能被 3 整除第二种情形至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被 3 除的余数分别为 0，1，2因此这三个数之和能被3 整除综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是 3 的倍数例 4 在长度是 10 厘米的线段上任意取 11 个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于 1 厘米？分析与解：把长度 10 厘米的线段 10 等分，那么每段线段的长度是 1 厘米（见下图） 将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有 10 个抽屉现在将这 11 个点放到这 10个抽屉中去根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点） 由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于 1 厘米所以，在长度是 10 厘米的线段上任意取 11 个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于 1 厘米。

例 5 有苹果和桔子若干个，任意分成 5 堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？分析与解：由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有 4 种情形：（奇，奇） ， （奇，偶） ， （偶，奇） ， （偶，偶） ，其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性将这 4 种情形看成 4 个抽屉，现有 5 堆水果，根据抽屉原理可知，这 5 堆水果里至少有 2 堆属于上述 4 种情形的同一种情形由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数例 6 用红、蓝两种颜色将一个 2×5 方格图中的小方格随意涂色（见右图） ，每个小方格涂一种颜色是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？分析与解：用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：将上面的四种情形看成四个“抽屉”根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。

在上面的几个例子中，例 1 用一年的 366 天作为 366 个抽屉；例 2 与例 3 用整数被 3 除的余数的三种情形 0，1，2 作为 3 个抽屉；例 4 将一条线段的 10 等份作为10 个抽屉；例 5 把每堆水果中，苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为 4 个抽屉；例6 将每列中两个小方格涂色的 4 种情形作为 4 个抽屉由此可见，利用抽屉原理解题的关键，在于恰当地构造抽屉 练习 291.某班 32 名小朋友是在 5 月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？2.班上有 50 名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？3.在任意三个自然数中，是否其中必有两个数，它们的和为偶数？4.幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？5.学校举行开学典礼，要沿操场的 400 米跑道插 40 面彩旗能否找到一种插法，使得任何两面彩旗之间的距离都大于 10 米？6.用红、蓝、黄三种颜色将一个 2×7 方格图中的小方格涂色（见下图） ，每个小方格涂一种颜色，每一列的两小格涂的颜色不相同。

是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？7.一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色有红、黄、黑、白四种不允许用眼睛看，那么至少要取出多少只袜子，才能保证有 5 双同色的袜子？。