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[研究生入学考试题库]考研数学三模拟238一、填空题问题:1. 微分方程xy'+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______．答案: [解析] 分离变量，得，两边积分有 1n|y|=-1n|x|+C1≥1n|xy|=C1xy=±ec1=C， 利用条件y(1)=1知C=1，故满足条件的解为． [评注] 微分方程xy'+y=0可改写为(xy)'=0，再两边积分即可． 问题:2. 答案: 问题:3. 答案: 问题:4. 答案: 问题:5. 答案:-1 问题:6. 答案: 二、选择题问题:1. 答案:A 问题:2. 答案:D 问题:3. 答案:B 问题:4. 答案:C 问题:5. 设A、B、C为事件，P(ABC)＞0，如果P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则A.P(C|AB)=P(C|A)．B.P(C|AB)=P(C|B)．C.P(B|AC)=P(B|A)．D.P(B|AC)=P(B|C)．答案:D[解析] 已知P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)意指“在C发生的条件下，A与B独立”．所以“在C发生的条件下，A发生与否不影响B发生的概率”，即P(B|AC)=P(B|C)，选择(D)．我们也可以通过计算来确定选项．事实上 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C) P(A|C)P(B|AC)=P(A|C)P(B|C) P(B|AC)=P(B|C)，选择(D)．选项(A)、(C)表示在A发生条件下，B与C独立；选项(B)表示在B发生条件下，A与C独立．问题:6. 答案:C 问题:7. 答案:C 问题:8. 答案:C 三、解答题问题:1. 答案: 问题:2. 答案: 问题:3. 设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1=(1，a，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(0，1，-1)T都是矩阵A属于特征值6的特征向量． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求A的另一特征值和对应的特征向量； (Ⅲ)若β=(-2，2，-1)T，求Anβ． 答案:对于实对称矩阵A，若λ是矩阵A的k重特征值，则矩阵A属于特征值λ的特征向量有且只有k个是线性无关的．因此α1，α2，α3必线性相关，那么 故a=1． (Ⅱ)由秩r(A)=2，知|A|=0，又，所以A的另一个特征值是λ3=0．由题设α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T为A的属于特征值6的线性无关的特征向量．设A属于特征值0的特征向量为α=(x1，x2，x3)T，于是αT1α=0，αT2α=0即解得此方程组的基础解系为α=(-1，1，1)T．那么矩阵A属于特征值λ3=0的全部特征向量为kα=k(-1，1，1)T(k为任意非零常数)． (Ⅲ)设x1α1+x2α2+x3α=β，对(α1，α2，α|β)作初等行变换，有 解出x1=3，x2=-2，x3=1． 故 β=3α1-2α2+α 因为 Aα1=6α1，Aα2=6α2，Aα=0α 所以 Anβ=3Anα1-2Anα2+Anα=3·6nα1-2·6nα2=(-6n，6n，-2·6n)T． [评注] 本题考查实对称矩阵特征值、特征向量的性质．如果λ是矩阵A的k重特征值，那么λ至多有k个线性无关的特征向量，而作为实对称矩阵，则k重特征值必有k个线性无关的特征向量，从而保证本题中α1，α2，α3一定线性相关，可求出a；要掌握实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交这一性质． 本题亦可由A(α1，α2，α3)=(6α1，6α2，0α)，先求出矩阵A．然后利用A～A=而求出An=PAnP-1．其中P=(α1，α2，α)再来计算Anβ．问题:4. 答案: 问题:5. 答案: 问题:6. 答案: 问题:7. 已知矩阵和 试判断矩阵A和B是否相似，若相似则求出可逆矩阵P，使P-1AP=B，若不相似则说明理由。

答案:由矩阵A的特征多项式 得到矩阵A的特征值是 λ1=3，λ2=λ3=-1 由矩阵B的特征多项式 得到矩阵B的特征值也是 λ1=3，λ2=λ3=-1 当λ=-1时，由秩 知(-E-A)x=0有2个线性无关的解，即λ=-1时矩阵A有2个线性无关的特征向量，矩阵A可以相似对角化 而(-E-B)x=0只有1个线性无关的解，即λ=-1时矩阵B只有1个线性无关的特征向量，矩阵曰不能相似对角化，因此矩阵A和B不相似 问题:8. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b＞a＞0．证明：在(a，b)内使得 答案:令，因为b＞a＞0，由题设知，f(x)，g(x)在[a，b]上满足柯西中值定理，于是∈(a，b)，使得 ① 又f(x)在[a，b]上满足拉氏定理，于是，使得 ② 由①，②得 问题:9. 答案:。