基于压缩感知的DOA估计.doc

秦皇岛分权NorthEastern University At QinHuangDao第十一届“挑战杯”大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品基于压缩感知的DOA估计东北大学秦皇岛分校 电子信息系CS战队关键词:摘要：阵列信号处理技术因其具有灵活的波束控制，较高的信号增 益，较强的抗干扰能力和很好的空间分辨力等优点广泛应用于通信、雷 达、声纳、定位等研究领域而传统的阵列信号处理技木是基于 Shannon-Nyquist采样实现，所以在具体应用中阵列信号处理技术所面 临的最主要问题是计算量大而难以实时实现而压缩感知(Compressive Sensing,CS)理论是在确知信号具有稀疏性或可压缩性的条件下对信号 进行观测，只需少量的采样点(可远低于Shannon-Nyquist采样速率) 就能精确或近似的重构出原始信号为此，本文将CS理论与空间谱估 计的MUSIC算法相结合，给出MUSIC快速实现方法，即CS-MUSIC 为复杂信号处理提供了有效的手段，为提高我国无线电测向技术以及 侦察技术提供了强有力的理论依据以及确实可行的方案，对提高我国 国防能力具有重要的军事意义压缩感知；稀疏表示；观测矩阵；MUSIC算法；DOA估1•引百1.1研究背景及意义阵列信号处理是信号分析与处理的一个重要分支，在通信、雷达、 声纳、射电天文、地震、遥感、生物医学工程等领域有着广泛的应用， 前期研究主要针对时域、频域的信号，近30年来随着研究范围的不断 发展，人们对空域的信号越来越感兴趣，其主要问题即是空间谱估计, 空间谱估计的主要任务是通过对多传感器所构成的阵列进行统计分 析，估计信号空间分布的参数和信源的方向，而对波达方向的估计是其主要研究课题。

波达方向估计是波束方向图综合以及波束形成的基 础信号波达方向的估计在当今的雷达和智能天线的设计等当中有着 至关重要的作用自上世纪60年代以来，其经历了迅速的发展，从早 期的基于子空间分析的多重信号分类算法(MUSIC)和旋转不变子空 间算法(ESPRIT),到后来的基于高阶累积量、极大似然和波束域定向 法，以及小波分析法等，发展到今天的以稀疏分解为思想的信号分析 方法本文重点研究的MUSIC空间谱估计具有诸如高分辨率、高精度、 能克服瑞利限的限制以及超分辨率等优势，但是其基于传统的采样定 理，不可避免的存在很大的局限性，如多路A/D处理等，计算量大、 实时性较差随着信息量的不断增加，对信号的采集速率和处理速度 提出了越来越高的要求，其面对着巨大的采样点存储和庞大的计算量的挑战面对这些难题，2006年，由Qmt/eA1, Tao，等人提出了全新的理论 压缩感知理论(Compressive Sensing)，突破了奈奎斯特采样定律的限制，这正是本文研究的重点和剖新点，将其与MUSIC 算法结合(CS-MUSIC)，以较少的采样点精确的估计出信号来波方向， 不仅减少了采样点和计算量，减少了存储空间，而且降低了对硬件的 要求，还可将A/D转换器提至系统的前端，具有极大的研究意义和实 现价值。

1.2国内外研究现状目前国内广泛应用于DOA估计的比较流行的算法是MUSIC算法 和ESPRIT算法本文研究的MUSIC算法是由Schmidt在1979年提出， 于1986年重新发表的MUSIC算法具有对波达方向估计的渐进无偏 特性和超分辨特性，其估计精度接近克莱梅-劳界算法（CRB），能够 分辨同信道内同时到达的处于天线固有波束宽度内的多个信号由于 天线对信号进行DOA估计时对每个信号的采样点（一般是1024点、 2048点等）多，而用天线阵列时采样点更多，无疑对信号和硬件的要 求越来越高，甚至不可能实现，后来又相继出现了一些改进的MUSIC 快速算法，如UCA_MUSIC算法，J_MUSIC算法等等改进的算法压缩感知（compressed sensing，CS）理论对于一些具有稀疏性或可 压缩性的信号以远低于奈奎斯特采样速率进行采样也能达到较理想的 效果稀疏理论指出，确知信源（在整个角度空间中，只有有限几个 角度的信源发射信号）的空间分布理论上都是具有稀疏性的，因此可 以在信号频率较高的情况下采用频率较低的采样速率来对信号进行采 样，一样可以达到对DOA估计较准确的效果这样就可以降低对信号 采样硬件的要求，节省硬件资源，同时也为更高频率的信号的DOA估 计提供了可能。

国际上目前对CS理论的研究虽处于初步阶段，但已相 当火热，表现出了其强大的生命力，并已发展了分布式CS理论（Baron 等提出），1-BIT CS 理论（Baraniuk 等提出），Bayesian CS 理论（Carin 等提出），无限维CS理论（Elad等提出），变形CS理论（Meyer等提出） 等，为雷达、医学、天文等方面的成像，编码、A/D转换、地质勘探、 气象、模式识别等方面带来了革命性的应用在硬件方面，美国莱斯 大学已经成功研制出了单像素相机，杜克大学研制出了单景成像装置 其广泛的应用前景必将对未来无线电的发展产生深远的影响2. 压缩感知理论简介2. 1 CS理论基本概念CS理论的提出是建立在已有的盲源分离和稀疏分解理论上的，其 核心思想是将压缩和采样合并进行，首先采集信号的非自适应性线性 投影值(测量值)，然后根据设计的重构算法由测量值重构出原始信号 其主要理论包括：稀疏表示、观测矩阵、重构算法，稀疏表示就是将 信号投影到正交变换基时，只有少部分变换系数是非零的，所得到的 变换向量即是稀疏或近似稀疏的，这是感知的先验条件，常见的变换 基有：离散余弦基、快速傅里叶基、离散小波基、Curvelets基以及冗 余字典等。

在编码测量时，选择合理的观测矩阵，必须满足受限等距(RIP)准则，然后通过原始信号与观测矩阵的乘积获得投影值最后 通过这两个矩阵运用重构算法重构原始信号，常见的重构的算法有： 最小范数法、匹配追踪法、最小全变分法、迭代阈值法等因此主要包括三个步骤：♦原始信号的稀疏表示眷测量编码•重构信号2.2 CS理论基本框架CS理论是编解码思想的一个重要突破传统的信号采样，编解码 过程如图1所示编码端先对信号进行采样，再对所有采样值进行变 换，并将其中重要系数的幅度和位置进行编码，最后将编码值进行存储或传输信号的解码过程仅仅是编码的逆过程，接收的信号经解压 缩，反变换后得到恢复信号这种传统的编解码方法存在两个缺陷：•由于信号的采样速率不得低于信号带宽的2倍，这使得硬件系 统面临着很大的采样速率压力编码端 解码端信号•在压缩编码过程中，大量变换计算得到的小系数被丢弃，造成 了数据计算和内存资源的浪费恢复数裾接收数据 ► 解压缩，反变换Y 图1传统编解码理论框图CS理论的信号编解码框架如图2所示CS理论对信号的采样， 压缩编码发生在同一个步朦，利用信号的稀疏性，以远低于Nyquist 采样率的速率对信号进行非自适应的测量编码。

测量值并非信号本身， 而是从高维到低维的投影值，从数学角度看，每个测量值是传统理论 下的每个样本信号的组合函数，即一个测量值已经包含了所有样本信 号的少量信息解码过程不是编码的简单逆过程，而是在盲源分离中 的求逆思想下，利用信号稀疏分解中已有的重构方法在概率意义上实现信号的精确重构或者一定误差下的近似重构，解码所需测量值的数 目远小于传统理论下的样本数编码端 解码端稀疏信号 >X测量编码接收数据 解码重构恢复信号A图2基于CS理论的编解码框图2. 3稀疏表示这里我们考虑长度为N的离散信号X，记为x(n), n=[l，2，...，N],由 信号理论可知，任意N维向量可以用一组/V x 1维的基向量｛中,｝三的线 性组合表示，信号x可以表示为N 、x = 或(1)/=|式中：5/二〈义，％>，s和x为2Vxl维的列向量，…，W]为NxN维 的基矩阵，信号的稀疏表示就是将x投影到正交变换基中上时，绝大 部分变换系数的绝对值很小，得到的变换向量SzW7%是稀疏或近似稀；後的当S中只有K (KN)个非零系数，其它N-K个系数都为0 (或很小)时，在范数意义下可表示为S|，则可以认为信号xI为K-稀疏的，相应的中称为稀疏基，可以用这K项稀疏表示很好地逼近原信号。

合理地选择和构造稀疏基中在整个CS理论中至关重要，不仅可以 使信号的稀疏系数尽可能少，而且有利于减少存储、传输占用的资源 空间，例如，缓变的平滑信号可选择傅立叶变换基，分段平滑的信号 可选择小波基，且当信号不能用正交基稀疏表示时，可用冗余字典稀 疏表7P2. 4测量编码在此模型中，原信号x将投影到另一个与变换基中不相关的A/xTV 维观测矩阵0 = 1^，奶，…，％，…，上，得到A/xl维的矩阵y，此时MN, 实现了对原信号x的压缩采样，表达式为y = (2)将(1)式代入(2)式中有y = Ox = = QS (3)式中0是MxN维的矩阵因为MN,所以上述矩阵方程无确定解，为一欠定方程满足 条件的S有无数多个，但是S是稀疏的，只要设计合适的观测矩阵就可以保证上式具有唯一的最稀疏解夂此时矩阵O和中应尽可能的正交，其相干度定义为//(电

在满足上述条件下，合理的选择和设计观测矩阵显得极其重要常见的观测矩阵有：高斯矩阵、Bernouli矩阵、部分傅立叶变换矩阵、 Hadamard矩阵、Toeplitz矩阵、循环矩阵、结构化随机矩阵等例如， 对一维信号，选取高斯观测矩阵能保证和任意的稀疏基不相关的概率 很高，或者伯努利矩阵等；对二維信号，选取部分傅立叶变换矩阵、 随机扰动的Hadamard矩阵等2. 5信号重构当矩阵0满足RIP准则时，从观测值y中先求出最稀疏解$，然后即可根据方程^士》，恢复出原始信号我们可以把上述过程看成是 一个最优化的问题，有min||5||/( , s.t. > = 05 (6)S2.5.1最小范数/,法对于上述式子，只有当OSc^l时，上述范数才能很好的表示稀疏性 故有min S . , s.t. y = QS (7)s但求解/0范数问题是一个N P问题，而此时范数问题与/()范数问题是等价的，求解优化问题会产生同样的解，故上式变为min||5j|," s. t. y = QS (8)s即求解为5 = argmin||S|| , s. t. y = 0S （9）s h上式即变为了最小/,范数问题，也称基追踪（BP），为凸优化问题，计算复杂度为W3），因此S在基中上的稀疏表达式可以化简为线性规 划。

可以在上述基础上，转换为下式，然后通过二阶圆锥规划求解min||S|| , s.t. ||Ox-<<(10)同时也可用同伦算法、内点法、梯度投影法、加权最小/,范数重构算法等求解2.5.2匹配追踪算法（MP）MP算法是一种贪婪迭代算法，其基本思想为：每一次迭代，从过 完备原子库（测量矩阵中）里选择与信号最匹配的原子来构建稀疏逼 近，并求出信号表示残差，然后继续选择与信。