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2024届上海市长宁、嘉定区4月高中毕业班联合考试数学试题.doc

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  • 上传时间:2024-01-28
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    • 2024届上海市长宁、嘉定区4月高中毕业班联合考试数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. “角谷猜想”的内容是:对于任意一个大于1的整数,如果为偶数就除以2,如果是奇数,就将其乘3再加1,执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的( )A.6 B.7 C.8 D.92.已知函数是定义在R上的奇函数,且满足,当时,(其中e是自然对数的底数),若,则实数a的值为( )A. B.3 C. D.3.双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D.4.一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品,甲每件进价元,乙每件进价元,甲商品每卖出去件可赚元,乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益,则购买甲、乙两种商品的件数应分别为( )A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件5.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( )A.180 B.90 C.45 D.3606.复数(为虚数单位),则的共轭复数在复平面上对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7.已知中,角、所对的边分别是,,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件8.在满足,的实数对中,使得成立的正整数的最大值为( )A.5 B.6 C.7 D.99.在中,为上异于,的任一点,为的中点,若,则等于( )A. B. C. D.10.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边,已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则( )A. B. C.1 D.11.如图,长方体中,,,点T在棱上,若平面.则( )A.1 B. C.2 D.12.如图是二次函数的部分图象,则函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

      13.已知边长为的菱形中,,现沿对角线折起,使得二面角为,此时点,,,在同一个球面上,则该球的表面积为________.14.(5分)已知椭圆方程为,过其下焦点作斜率存在的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,则面积的取值范围是____________.15.小李参加有关“学习强国”的答题活动,要从4道题中随机抽取2道作答,小李会其中的三道题,则抽到的2道题小李都会的概率为_____.16.动点到直线的距离和他到点距离相等,直线过且交点的轨迹于两点,则以为直径的圆必过_________.三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(12分)在中,角的对边分别为,已知.(1)求角的大小;(2)若,求的面积.18.(12分)已知各项均不相等的等差数列的前项和为, 且成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.19.(12分)若不等式在时恒成立,则的取值范围是__________.20.(12分)已知函数的导函数的两个零点为和.(1)求的单调区间;(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.21.(12分)设函数.(1)求的值;(2)若,求函数的单调递减区间.22.(10分)已知函数.(Ⅰ)求函数的极值;(Ⅱ)若,且,求证:.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

      在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】模拟程序运行,观察变量值可得结论.【题目详解】循环前,循环时:,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,满足条件,退出循环,输出.故选:B.【题目点拨】本题考查程序框图,考查循环结构,解题时可模拟程序运行,观察变量值,从而得出结论.2、B【解题分析】根据题意,求得函数周期,利用周期性和函数值,即可求得.【题目详解】由已知可知,,所以函数是一个以4为周期的周期函数,所以,解得,故选:B.【题目点拨】本题考查函数周期的求解,涉及对数运算,属综合基础题.3、C【解题分析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.【题目详解】由题意可知,双曲线的渐近线方程是.故选:C.【题目点拨】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线的简单性质的合理运用.4、D【解题分析】由题意列出约束条件和目标函数,数形结合即可解决.【题目详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别,利润为元,由题意,画出可行域如图所示,显然当经过时,最大.故选:D.【题目点拨】本题考查线性目标函数的线性规划问题,解决此类问题要注意判断,是否是整数,是否是非负数,并准确的画出可行域,本题是一道基础题.5、A【解题分析】试题分析:因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以,,令,则,.考点:1.二项式定理;2.组合数的计算.6、C【解题分析】由复数除法求出,写出共轭复数,写出共轭复数对应点坐标即得【题目详解】解析:,,对应点为,在第三象限.故选:C.【题目点拨】本题考查复数的除法运算,共轭复数的概念,复数的几何意义.掌握复数除法法则是解题关键.7、D【解题分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【题目详解】中,角、所对的边分别是、,由大边对大角定理知“”“”,“”“”.因此,“” 是“”的充分必要条件.故选:D.【题目点拨】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查三角形的性质等基础知识,考查逻辑推理能力,是基础题.8、A【解题分析】由题可知:,且可得,构造函数求导,通过导函数求出的单调性,结合图像得出,即得出,从而得出的最大值.【题目详解】因为,则,即整理得,令,设,则,令,则,令,则,故在上单调递增,在上单调递减,则,因为,,由题可知:时,则,所以,所以,当无限接近时,满足条件,所以,所以要使得故当时,可有,故,即,所以:最大值为5.故选:A.【题目点拨】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值,以及运用构造函数法和放缩法,同时考查转化思想和解题能力.9、A【解题分析】根据题意,用表示出与,求出的值即可.【题目详解】解:根据题意,设,则,又,,,故选:A.【题目点拨】本题主要考查了平面向量基本定理的应用,关键是要找到一组合适的基底表示向量,是基础题.10、D【解题分析】根据以直角边为直径的半圆的面积之比求得,即的值,由此求得和的值,进而求得所求表达式的值.【题目详解】由于直角边为直径的半圆的面积之比为,所以,即,所以,所以.故选:D【题目点拨】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查二倍角公式,属于基础题.11、D【解题分析】根据线面垂直的性质,可知;结合即可证明,进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得.【题目详解】长方体中,,点T在棱上,若平面.则,则,所以, 则,所以,故选:D.【题目点拨】本题考查了直线与平面垂直的性质应用,平面向量数量积的运算,属于基础题.12、B【解题分析】根据二次函数图象的对称轴得出范围,轴截距,求出的范围,判断在区间端点函数值正负,即可求出结论.【题目详解】∵,结合函数的图象可知,二次函数的对称轴为,,,∵,所以在上单调递增.又因为,所以函数的零点所在的区间是.故选:B.【题目点拨】本题考查二次函数的图象及函数的零点,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

      13、【解题分析】分别取,的中点,,连接,由图形的对称性可知球心必在的延长线上,设球心为,半径为,,由勾股定理可得、,再根据球的面积公式计算可得;【题目详解】如图,分别取,的中点,,连接,则易得,,,,由图形的对称性可知球心必在的延长线上,设球心为,半径为,,可得,解得,.故该球的表面积为.故答案为:【题目点拨】本题考查多面体的外接球的计算,属于中档题.14、【解题分析】由题意,,则,得.由题意可设的方程为,,联立方程组,消去得,恒成立,,,则,点到直线的距离为,则,又,则,当且仅当即时取等号.故面积的取值范围是.15、【解题分析】从四道题中随机抽取两道共6种情况,抽到的两道全都会的情况有3种,即可得到概率.【题目详解】由题:从从4道题中随机抽取2道作答,共有种,小李会其中的三道题,则抽到的2道题小李都会的情况共有种,所以其概率为.故答案为:【题目点拨】此题考查根据古典概型求概率,关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.16、【解题分析】利用动点到直线的距离和他到点距离相等,,可知动点的轨迹是以为焦点的抛物线,从而可求曲线的方程,将 ,代入,利用韦达定理,可得 ,从而可知以为直径的圆经过原点O.【题目详解】设点,由题意可得,,,可得,设直线的方程为,代入抛物线可得,,,,以AB为直径的圆经过原点.故答案为:(0,0)【题目点拨】本题考查了抛物线的定义,考查了直线和抛物线的交汇问题,同时考查了方程的思想和韦达定理,考查了运算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。

      解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、(1);(2)【解题分析】(1)利用正弦定理边化角,再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可.(2)由(1)有,根据正弦定理可得,进而求得的值,再根据三角形的面积公式求解即可.【题目详解】(1)由,得,得,由正弦定理得,显然,同时除以,得.所以.所以.显然,所以,解得.又,所以.(2)若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【题目点拨】本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意用正弦定理进行边角互化,再根据三角恒等变换进行化简求解等.属于中档题.18、(1);(2).【解题分析】试题分析:(1)设公差为,列出关于的方程组,求解的值,即可得到数列的通项公式;(2)由(1)可得,即可利用裂项相消求解数列的和.试题解析:(1)设公差为.由已知得,解得或(舍去), 所以,故.(2),考点:等差数列的通项公式;数列的求和.19、【解题分析】原不等式等价于在恒成立,令,,求出在上的最小值后可得的取值范围.【题目详解】因为在时恒成立,故在恒成立.令,由可得.令,,则为上的增函数,故.故.故答案为:.【题目点拨】本题考查含参数的不等式的恒成立,对于此类问题,优先考虑参变分离,把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题,本题属于基础题.20、(1)单调递增区间是,单调递减区。

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