河南省信阳市楠杆中学2020-2021学年高二数学理模拟试题含解析.docx

河南省信阳市楠杆中学2020-2021学年高二数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（　　）A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C． D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围．【解答】解：∵y=ex+ax，∴y=ex+a．由题意知ex+a=0有大于0的实根，令y1=ex，y2=﹣a，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得﹣a＞1?a＜﹣1，故选A．2. 函数的定义域是(　　)A．[－1，＋∞)　　　B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0)参考答案：A略3. 已知椭圆，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于（ ）A．4 B．5 C．7 D．8参考答案：D4. 用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3 (n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3参考答案：A 5. 若（是虚数单位），则的最小值是（ ）． ． ． ．参考答案：6. 在等比数列{}中,已知,，则 （ ）A.1 B.3 C.1 D.3参考答案：A7. 等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（　　） A．12 B．10 C．8 D．2+log35参考答案：B【考点】等比数列的性质；对数的运算性质． 【专题】计算题． 【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得． 【解答】解：∵a5a6=a4a7， ∴a5a6+a4a7=2a5a6=18 ∴a5a6=9 ∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10 故选B 【点评】本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．8. 在正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．参考答案：B9. 设则（ ） A．都不大于 B．都不小于 C．至少有一个不大于 D．至少有一个不小于参考答案：C 10. 过点（2，-2）且与有共同渐近线的双曲线方程为（ ）（A） （B） （C） (D) 参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ．参考答案：12. 一个口袋一共装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球30个，从中任意摸出一个球得到白球概率为0.47，则口袋中的黑球___ ____.参考答案：略13. 已知是正数，且满足．那么的取值范围是 参考答案：14. 已知函数f（x）=lnx+ax2+（2﹣2a）x+（a＞0），若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，则a的取值范围是 ．参考答案：（，）考点：利用导数研究函数的极值． 专题：导数的综合应用．分析：若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，等价为方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值，利用极大值大于0，极小值小于0，即可得到结论．解答： 解：若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，即方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，即lnx+ax2+（2﹣2a）x+=3x，lnx+ax2﹣（1+2a）x+=0有三个不相等的实根，设g（x）=lnx+ax2﹣（1+2a）x+，则函数的导数g′（x）=+2ax﹣（1+2a）==，由g′（x）=0得x=1，x=，则g（1）=a﹣1﹣2a+=﹣1﹣a+，g（）=ln+a（）2﹣（1+2a）+=﹣1﹣ln2a．若=1，即a=时，g′（x）=≥0，此时函数g（x）为增函数，不可能有3个根，若＞1，即0＜a＜时，由g′（x）＞0得x＞或0＜x＜1，此时函数递增，由g′（x）＜0得1＜x＜，此时函数递减，则当x=1时函数g（x）取得极大值g（1）=﹣1﹣a+，当x=时函数g（x）取得极小值g（）=﹣1﹣ln2a，此时满足g（1）=﹣1﹣a+＞0且g（）=﹣1﹣ln2a＜0，即，即，则，解得＜a＜．同理若＜1，即a＞时，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜，此时函数递增，由g′（x）＜0得＜x＜1，此时函数递减，则当x=1时函数g（x）取得极小值g（1）=﹣1﹣a+，当x=时函数g（x）取得极大值g（）=﹣1﹣ln2a，此时满足g（1）=﹣1﹣a+＜0且g（）=﹣1﹣ln2a＞0，即，∵a＞，∴2a＞1，则ln2a＞0，则不等式ln2a＜﹣1不成立，即此时不等式组无解，综上＜a＜．故答案为：点评：本题主要考查导数的综合应用，根据条件转化为方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，构造函数，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．15. 在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为__________参考答案：2 , 16. 已知函数，若，且，都有不等式成立，则实数的取值范围是_____________参考答案：17. 已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则f（x）的极小值等于　　．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可得f′（﹣2）=0，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．求出c，然后求解函数的极小值．【解答】解：函数f（x）=x（x﹣c）2的导数为f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c）=（x﹣c）（3x﹣c），由f（x）在x=﹣2处有极大值，即有f′（﹣2）=0，解得c=﹣2或﹣6，若c=﹣2时，f′（x）=0，可得x=﹣2或﹣，由f（x）在x=﹣2处导数左正右负，取得极大值，若c=﹣6，f′（x）=0，可得x=﹣6或﹣2由f（x）在x=﹣2处导数左负右正，取得极小值．不满足题意；综上可得c=﹣2．f′（x）=（x+2）（3x+2），x=﹣时函数取得极小值，极小值为：f（）=（+2）2=﹣．故答案为：．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在中，，，.（1）求边长AB的值；（2）求的面积参考答案：解：（1）由正弦定理及 得即，所以 （2）由余弦定理得则有， 所以略19. 现将一根长为180 cm的木条制造成一个长方体形状的木质框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？参考答案：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为，而令，解得x=0（舍去）或，因此x=1.当0＜x＜10时，；当时，，故在x=10处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值从而最大体积（cm3），此时长方体的长为20cm，高为15cm.答：当长方体的长为20cm时，宽为10cm，高为15cm时，体积最大，最大体积为3000cm320. （13分）已知，点P的坐标为.（1）求当R时，P满足的概率.（2）求当Z时，P满足的概率.参考答案：21. 已知数列{an}的前n项和．（1）求a1的值．（2）求数列{an}的通项公式．（3）求Sn的最小值．参考答案：【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由，令n=1，能求出a1．（2）由，利用，能求出{an}的通项公式．（3）由，利用配方法能求出Sn的最小值．【解答】解：（1）∵数列{an}的前n项和，∴a1=S1=1﹣48=﹣47，（2）∵，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣48n）﹣=2n﹣49，n=1时，上式成立，∴an=2n﹣49．（3）∵=（n﹣24）2﹣576，∴当n=24时，Sn有最小值﹣576．【点评】本题考查数列的通项公式、前n项和最小值的求法，是基础题，解题时要注意的合理运用．22. （本小题满分12分）已知函数有三个极值点。

I）证明：；（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围参考答案：解：（I）因为函数有三个极值点, 所以有三个互异的实根. ……………………1分 设则 当时，在上为增函数; 当时，在上为减函数; 当时，在上为增函数; 所以函数在时取极大值,在时取极小值. ……………………3分 当或时,最多只有两个不同实根. 因为有三个不同实根, 所以且. 即,且,解得且故.……………………5分 （II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点. 不妨设为（），则 所以的单调递减区间是, 若在区间上单调递减，则, 或,……………………………………6分 若,则.由（I）知，,于是 若,则且.由（I）知， 又当时，;…………8分 当时，. 因此, 当时，所以且即故或反之, 当或时，总可找到使函数在区间上单调递减. ……………………11分综上所述, 的取值范围是.………………………………………12分。