刚体之半圆圈的质心和转动惯量.ppt

{范例范例4.3} 半圆圈的质心和转动惯量半圆圈的质心和转动惯量如图所示，一匀质半圆圈的质量为如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为，内半径为R0，外半径为，外半径为R1)求半圆圈的质心位置质心位置与半径求半圆圈的质心位置质心位置与半径R0和和R有什么关有什么关系？系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量转动惯量与半径求半圆圈绕三个轴的转动惯量转动惯量与半径R0和和R有什么关系？有什么关系？[解析解析](1)由于对称的缘故半圆圈的质心在由于对称的缘故半圆圈的质心在y轴上半圆圈的面积为半圆圈的面积为S = π(R2 – R02)/2，，在半圆圈中取一面积元在半圆圈中取一面积元ds = rdθdr，，质量面密度为质量面密度为其质量为其质量为dm = σds = σrdθdr，，到转动轴到转动轴x的距离为的距离为y = rsinθ，，质心纵质心纵坐标为坐标为MyrdsROzxθR0{范例范例4.3} 半圆圈的质心和转动惯量半圆圈的质心和转动惯量如图所示，一匀质半圆圈的质量为如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为，内半径为R0，外半径为，外半径为R1)求半圆圈的质心位置质心位置与半径求半圆圈的质心位置。

质心位置与半径R0和和R有什么关有什么关系？系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量转动惯量与半径求半圆圈绕三个轴的转动惯量转动惯量与半径R0和和R有什么关系？有什么关系？当当R0 = R时，半圆圈变成半时，半圆圈变成半圆环，半圆环的质心坐标为圆环，半圆环的质心坐标为当当R0 = 0时，半圆圈变成半时，半圆圈变成半圆盘，半圆盘的质心坐标为圆盘，半圆盘的质心坐标为比较同一质量和半径的半圆环和半圆盘，由于圆环比较同一质量和半径的半圆环和半圆盘，由于圆环质量的分布离质量的分布离x轴比较远，其质心高度比较高轴比较远，其质心高度比较高质心纵质心纵坐标为坐标为MyROzx当半圆圈的质量和外半径一定时，半当半圆圈的质量和外半径一定时，半圆圈的质心高度随厚度的减小而增加圆圈的质心高度随厚度的减小而增加半圆盘的质心高度为半圆盘的质心高度为0.424R，，半圆环的质心高度为半圆环的质心高度为0.637R{范例范例4.3} 半圆圈的质心和转动惯量半圆圈的质心和转动惯量如图所示，一匀质半圆圈的质量为如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为，内半径为R0，外半径为，外半径为R1)求半圆圈的质心位置质心位置与半径求半圆圈的质心位置。

质心位置与半径R0和和R有什么关有什么关系？系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量转动惯量与半径求半圆圈绕三个轴的转动惯量转动惯量与半径R0和和R有什么关系？有什么关系？半圆圈绕半圆圈绕y轴的转动惯量为轴的转动惯量为半圆圈绕半圆圈绕z轴的轴的转动惯量为转动惯量为[解析解析](2)半圆圈绕半圆圈绕x轴的转动惯量为轴的转动惯量为MyrdsROzxθR0这是正交这是正交轴定理因此因此{范例范例4.3} 半圆圈的质心和转动惯量半圆圈的质心和转动惯量如图所示，一匀质半圆圈的质量为如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为，内半径为R0，外半径为，外半径为R1)求半圆圈的质心位置质心位置与半径求半圆圈的质心位置质心位置与半径R0和和R有什么关有什么关系？系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量转动惯量与半径求半圆圈绕三个轴的转动惯量转动惯量与半径R0和和R有什么关系？有什么关系？半圆圈绕半圆圈绕x轴和轴和y轴的转动惯量为轴的转动惯量为半圆圈绕半圆圈绕z轴的轴的转动惯量为转动惯量为Jz是是Jx和和Jy的两倍，只要讨论的两倍，只要讨论Jz就行了当当R0 = 0时，半圆圈变成半圆盘，时，半圆圈变成半圆盘，半圆盘绕半圆盘绕z轴的转动惯量为轴的转动惯量为当当R0 = R时，半圆圈变成半圆环，半时，半圆圈变成半圆环，半圆环绕圆环绕z轴的转动惯量为轴的转动惯量为Jz = MR2。

这是因为半圆环上所有这是因为半圆环上所有点与点与z轴的距离都是轴的距离都是RMyROzx当半圆圈的质量和外半径一当半圆圈的质量和外半径一定时，半圆圈绕定时，半圆圈绕z轴的转动轴的转动惯量随宽度的减小而增加惯量随宽度的减小而增加。