沪科版九年级上册数学知识点整理.doc

第 21章 二次函数与反比例函数【知识点 1 函数 y=ax2+bx+c 的解析式】1. 形如（a≠0）的函数叫做x的二次函数；2. 形如的函数叫做x的反比例函数；典例 1 在下列函数表达式中，表示y是 x 的二次函数关系的有 ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦典例2 在下列函数表达式中，表示y 是 x 的反比例函数关系的有 ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦典例 3 若函数是反比例函数，则a= ,若是二次函数，则a= 知识点 2 二次函数的图象与性质】函数a的值a＞0a＜0性质1. 抛物线开口 ，并向 无限延伸；2.对称轴是 ，顶点坐标（ ， ）；3.当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y随x的增大而增大；4.抛物线有最 点，当x= 时，y有最 值，；1.抛物线开口 ，并向 ；2.对称轴是 ，顶点坐标（ ， ）3.当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y随x的增大而增大；4.抛物线有最 点，当x= 时，y有最 值，；典例 4 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（ ）x-1012y-3131A.抛物线开口向上 B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=4时，y＞0 D.方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间典例 5 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点 A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（ ）A.y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2【知识点 3 二次函数解析式的确定】1.待定系数法：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) (条件：任意 点坐标)顶点式：（条件： 坐标+任意 点坐标）交点式： （条件：与 轴两交点坐标及任意 点坐标）2.平移规律：左加右减，上加下减典例 6 抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x＝－1，顶点C到x轴的距离为 2，则此抛物线表达式为 。

典例7 抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），则这个函数的关系式为 典例 8 抛物线y=x2+bx +c向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的表达式为y=x2-2x-3，则b= ，c= 典例 9 若抛物线y=x2+2bx+4 的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为 知识点 4 二次函数系数与图象】考查角度 1：判断a、b、c与0比较大小， 决定了开口方向， 和 共同决定了对称轴的位置（左同右异）， 决定了抛物线与y轴交点；（填a、b、c）考查角度 2：判断 b2-4ac ，b2-4ac>0（图象与坐标轴有 个交点），b2-4ac=0(图象与坐标轴有 个交点), b2-4ac<0(图象与坐标轴 交点)考查角度 3：判断2a+b与0比较大小，用对称轴x=与1比较大小即可（解不等式过程中注意a的符号），判断2a-b与0比较大小，用对称轴x=与-1比较大小即可考查角度 4：（1）判断a+b+c与0比较，可将x=1代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可；判断a-b+c与0比较，可将x=-1代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可；（2）判断与0比较大小，可将x= 代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可；（3）判断与0比较大小，可将x= 代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可；之后判断同理……典例 10： 如图，是抛物线y＝ax2+bx+c (a≠0) 的部分图象，则下列结论：① abc>0 ；② 2a+b=0 ；③ b2-4ac>0；④ a+b+c>0 ；⑤ 9a-3b+c>0 ；⑥ 3a+c>0；⑦ 2c<3b其中正确的结论有 。

典例11 如图，是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，其顶点的纵坐标为m，则下列结论：①a－b＋c>0；②4a＋c>2b；③2a-b<0；④b2＝4a(c－m)；⑤一元二次方程ax2＋bx＋c＝m－1有两个不相等的实数根．其中正确结论有 典例12 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①abc＞ 0 ； ② b2-4ac＞ 0； ③ 2a=b；④ a+b+c＞0 ；⑤ 3b+2c＜ 0；⑥ t（at+b） ≤a-b（ t 为任意实数）其中正确结论有 知识点 5 二次函数与一元二次方程】一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x轴的交点坐标，因此一元二次方程中的△=b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点：（1）当△>0时，图像与x轴有 个交点；（2）当△=0时，图像与x轴有 个交点；（3）当△=b2-4ac <0时，图像与x轴 交点典例 13 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，求：(1)函数解析式 _________________ ；(2)当 x______时， y 随 x 增大而减小；(3)由图象回答：当y＞ 0 时， x 的取值范围 ______；当y＝ 0 时， x＝ ______；当y＜ 0 时， x 的取值范围 ______；(4) 方程 ax2 ＋bx＋c=－3 的解为： ______．典例14 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次ax2+bx+c-m=0没有实数根，则m的取值范围是 。

知识点 6 二次函数的应用】典例15 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是 25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于 10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．典例16 王强在一次高尔夫球的练习中， 在某处击球，其飞行路线满足抛物线 ，其中y（m）是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有 2m． (1) 请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．(2) 请求出球飞行的最大水平距离．(3) 若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．【知识点 7 反比例函数图象与性质】典例 17 在函数 （a 为常数）的图象上有三点（-3，y1），（-1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是 。

典例 18 如下图，直线于点P，且与反比例函数图像分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则= 第18题 图 第19题图【知识点8 函数与一次函数综合】典例19 如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b和反比例函数的图像的两个交点1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）由图像求：不等式的解集； 典例20 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B1） ① 直接写出点 B 的坐标； ② 求抛物线解析式．（2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA， PC．求 △PAC 的面积的最大值，并求出此时点 P的坐标．第 22 章 相似三角形【知识点1 比例的基本性质】（知识点请查阅教材或笔记）典例 1 （1）已知求2a+4b-3c= ；（2）若x是a、b的比例中项，那么 。

典例 2 若= 典例 3 已知 知识点2 黄金分割比】（知识点请查阅教材或笔记）典例 4 点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且AB=6cm，则BC= 典例 5 已知点 C 段 AB 上，且点 C 是线段AB 的黄金分割点(AC＞ BC)，则下列结论正确的是 ( )A ．AB2 ＝AC•BC B ．BC2＝ AC•BC C． AC＝BC D． BC＝AB 【知识点3 平行线分线段成比例】（知识点请查阅教材或笔记）典例 6如图， AD为 △ ABC 的中线，AE＝AD，BE 的延长线交AC于点 F，DH∥BF ，则的值是多少？典例7 如图，在△ABC中，DG∥EC，EG∥BC.求证：AE2＝AB·AD【知识点 4 相似三角形基本模型】典例 8 如图，在 △ ABC 中，正方形 EFGH 的两个顶点 E、 F 在 BC 上，另外两个顶点 G、 H 分别在 AC 、AB 上， BC = 15， BC 边上的高是 10，求正方形的面积典例 9 如图，四边形 ABCD 中，∠B= ∠D=90 °，M 是 AC 上一点， ME ⊥ AD 于点 E， MF ⊥ BC 于点 F，求证：典例 10 如图，点 D 是 AB 边的中点， AF ∥BC ，CG： GA=3:1 ， BC=8 ，求 AF 的长。

典例 11 如图，在 △ ABC 与 △ ADE 中，∠ ACB= ∠ AED=90 °，∠ ABC= ∠ ADE ，连接 BD 、CE，若 AC ：BC=3： 4，求 BD ： CE 的值.典例 12 △ ABC 中， AB=AC ，点 D 、E、 F 分别在 BC 、AB 、 AC 上， ∠ EDF= ∠ B．(1)如图1，求证： DE·CD=DF·BE ； 。