产销问题的数学建模[1].doc
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产销问题的数学模型产销问题的数学模型产销问题的数学模型产销问题的数学模型 1产销问题的数学模型产销问题的数学模型摘要摘要以产销为主的公司对成本的花费和利润的回收是十分重视的，本文则针对这个问 题，建立了关于该企业手工产品产销问题的优化模型[1]，解决了该企业最优产销方案的 问题企业产品产销始于购入物料，经加工制成或经组合装配成为产品，最后通过销售 获取利润，所以当成本最小的时候，公司可获得最大利润在问题一中根据成本的类 型，可以分为两类，即产品成本与人力成本本文先将各成本定义成不同的数学变量， 再依据时间与各成本间的关系可得出在计划期内的各成本的花费，最后由公式：得出计划期内的成本总和 Q最后运用多元函数的极值的求解方法并借助 LINGO/LINDO 软件来计算，便可求出成本 Q 的最小值 842504，以及获得最大利润 SMAX=897496 元促销[2]是营销者为扩大销售而进行的商业活动，但是如果不合理安排促销的活动及 做好适当的成本利润评估，就很容易让营销者在此商业活动中亏损在问题二中，就 在淡季的一月促销产品和在旺季的四月促销产品这两种方案进行了成本和利润的分析 在此问题中，我们依然用问题一的方法，即多元函数的极值的求解法来求出这两种方 案的成本和利润。
由结果可知，若在淡季的一月促销产品，则在这个计划期内的成本 为 842214 元，利润为 875086 元；而在旺季的四月促销产品，计划期内的成本为 842454 元，利润为 868306 元由第一问可知，在无促销的计划期内的成本是 842504 元，利润为 897496 元所以，将以上三组数据进行对比，可得出以下结论：降价促销 会引起总收入减少，但促销带来的增长会使需求的变化变得平稳引起总成本的下降 一般在淡季进行促销时总成本下降的幅度较大，使需求平稳的同时生产的安排也更加 平稳所以在这三种方案中，计划期内无促销为最佳方案由于以上的问题都主要考虑的是生产产品的问题，本文建议可再通过对客户需求 以及市场波动进行数据处理，也可建立一个价格策略[3]模型与本模型结合起来，将得到 更加精确的产销模型关键词：关键词：数学规划 多元函数的极值法 LINGO/LINDO 软件 最优产销方案666666661111111121 8 1218() 100200102050100iiiiiiiii iiiiiiiiQWWTxyhkab 产销问题的数学模型 21．问题重述某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上半年 6 个月的产 品需求预测如表 1 所示。
表 1. 产品需求预测估计值（件） 月份1 月2 月3 月4 月5 月6 月 预计需求量1000110011501300140013001 月初工人数为 10 人，工人每月工作 21 天，每天工作 8 小时，按规定，工人每个 月加班时间不得超过 10 个小时1 月初的库存量为 200 台产品的销售价格为 240 元/ 件该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后 续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示 6 月末的库存为 0（不允许缺货） 各种成本费用如表 2 所示表 2. 产品各项成本费用 原材料成本库存成本缺货损失外包成本培训费用 100 元/件10 元/件/月20 元/件/月200 元/件50 元/人 解聘费用产品加工时间工人正常工资工人加班工资 100 元/人1.6 小时/件12 元/小时/人18 元/小时/人 （1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的 最优产销方案；（2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为 220 元/件时，则接下来的两个月中 6%的需求会提前到促销月发生。
试就一月份（淡季） 促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选 取最优的产销规划方案2．模型的分析这是企业生产产品前做产销计划欲求产销优化的问题，目标是使得成本低、利润 大现知道，成本为：原材料成本、库存成本、缺货损失成本、外包成本、工人培训 费用、工人的正常工资及加班工资、解聘工人的费用且这些成本为线性函数约束 条件为：聘用和解雇人员的限制，生产能力的限制，库存的限制，加班限制等结合以上，找出各个变量之间的关系，列出目标函数，把实际问题转化成数学问 题进行分析和求解，建立多变量求目标函数最值的非线性规划模型根据分析，在合理假设条件下，列出各方面因素对利润和成本影响的关系式，借 助 LINGO/LINDO 软件进行问题求解3．模型的假设与符号说明3.1 模型的假设 （1）生产过程是连续的,即每天都生产； （2）每个员工的健康状况、每月的工作时间、工作效率等相同； （3）六月末为零库存，但不缺货；产销问题的数学模型 3（4）预测的各月的产品需求均为定值3.2 符号的说明S——六个月的总利润（单位：元） ；L——六个月总的销售额（单位：元） ；Q——上半年企业生产所需的成本（单位：元） ；Di——第 i 个月产品需求预测估计值（单位：件） ；Wi——第 i 个月的员工数（W0=10）(单位：人） ；Ti——第 i 个月每个员工工作总时间 （单位：小时） ；xi——第 i 个月员工生产量（单位：件） ；yi——第 i 个月外包生产量（单位：件） ；ai——第 i 个月新聘用的工人数（单位：人） ；bi——第 i 个月解聘工人数（单位：人） ；hi——第 i 个月库存量（单位：件） ；ki——第 i 个月缺货量（单位：件） 。
4．模型的建立4.1 生产成本与各方面因素的关系如图 1 所示：产销问题的数学模型 4库存费库存费缺货量缺货量外包量外包量物力成本物力成本生产成本生产成本 Q人力成本人力成本当月员工数当月员工数当月初招聘人数当月初招聘人数当月末解聘人数当月末解聘人数当月加班时间当月加班时间当月生产量当月生产量 即为即为 z图 1 生产成本与各方面因素的关系示意图4.2 模型建立 通过以上的全面分析，此时可以对该问题建立数学模型求产销最优解模型建立： 根据题目已知条件： 因为 6 月末的库存为 0（不允许缺货）,说明货物全部卖出； 所以 L=(1000+1100+1150+1300+1400+1300)*240，即 L 为定值 当成本 Q 最低时，企业达到利润最大 根据各变量的关系可列出关于成本 Q 的式子： MIN：666666661111111121 8 1218() 100200102050100iiiiiiiii iiiiiiiiQWWTxyhkab ST𝑧𝑖+ ℎ𝑖 ‒ 1‒ 𝑘𝑖 ‒ 1= ℎ𝑖‒ 𝑘𝑖+ 𝐷𝑖00h00k𝑊𝑖∗ 𝑇𝑖≥ 1.6𝑥𝑖产销问题的数学模型 5𝑊𝑖= 𝑊𝑖 ‒ 1+ 𝑎𝑖‒ 𝑏𝑖 ∆𝑇𝑖= 𝑇𝑖‒ 21 ∗ 8 21 ∗ 8 ≤ 𝑇𝑖≤ 21 ∗ 8 + 10 𝑊0= 10 𝑊𝑖,𝑇𝑖,𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑎𝑖,𝑏𝑖,ℎ𝑖,𝑘𝑖≥ 06611200ii iizD𝑥𝑖+ 𝑦𝑖= 𝑧𝑖 i=1,2,3,4,5,6 𝐷1= 1000,𝐷2= 1100,𝐷3= 1150,𝐷4= 1300,𝐷5= 1400,𝐷6= 13005．模型的求解模型求解结果： （1）由以上的分析、假设、LINGO/LINDO 程序的运行，同时考虑到模型在实际当中 有些的决策变量只能取整数，对得到的计算结果进行必要的取整，可得到该公司的总 生产计划如表 3 所示：表 3. 该公司生产计划表时期时期 n雇佣工雇佣工 人数人数解雇工解雇工 人数人数工人工人 人数人数加班加班 时间时间库存库存缺货缺货外包外包生产生产 数量数量000100200000 102804000840 2201080501055 3101100001155 42013065001365 50013030001365 60112160001270结论：总成本为 842504 元。
而产品的销售价格为 240 元/件，则计划期间的销售收入为：L=1740000 元；计划期间的利润为 S1= L-Q=897496（元） ； 因此，若我是公司决策人员，我会选： W1=10，W2=11，W3=13，W4=13，W5=13，W6=12; T1=0，T2=8，T3=0，T4=0，T5=0，T6=16; x1=1055,x2=840,x3=1155,x4=1365,x5=1365,x6=1270; y1=0,y2=0,y3=0,y4=0,y5=0,y6=0; h1=40,h2=0,h3=0,h4=65,h5=30,h6=0; k1=0,k2=5,k3=0,k4=0,k5=0,k6=0; a1=0,a2=2,a3=1,a4=2,a5=0,a6=0; b1=2,b2=0,b3=0,b4=0,b5=0,b6=1.产销问题的数学模型 6的产销方案来达到成本最低、利润最大2）依题意，两种促销方案的预计产品需求量如表 4 所示：表 4. 两种促销方案预计产品需求量表 月份月份123456 一月份促销预计一月份促销预计 需求量需求量113510341081130014001300四月份促销预计四月份促销预计 需求量需求量100011001150146213161222一月份促销计划结果： 利用前面给出的成本最小规划模型，将相关参数值代入该模型进行求解，得到一 月份促销方案的结果为： 一月份促销方案，总成本为 842214 元； 销售收入为 220×1135+240×﹙1034+1081+1300+1400+1300﹚=1717300 元；S2=1717300-842214=875086 元。
四月份促销计划结果： 四月份促销方案，总成本为 842454 元； 销售收入为 L=220×1462+240×﹙1000+1100+1150+1316+1222﹚=1710760 元； 利润为 S3=1710760-842454=868306 元因此，我们选不促销方案（1）为最优产销规划方案6．模型的进一步分析与讨论模型的结果分析：S1>MAX(S2,S3)S 说明了从利润最大化考虑，无促销方案是最优产销方案，如图所 示，第一方案产品的预计需求量比较稳定他的利润最大（如图 2）：产销问题的数学模型 7但也说明了一个问题，在总六个月预计需求量为常数情况下，是价格影响了最终 的 S本题的目标都是成本最少、利润最大分析价格的假设：假设中价格是稳定的，显然这是不合理的，实际生活中，价格 不是一个常数，而是变量，且它的变化关系不能确定，单对一个产品而言，只有在平 均价格水平高于成本时，企业才能获利价格主要是受它的社会平均成本[4]的影响（社会平均成本：它是指部门内不同企业 生产同种商品或提供同种服务的平均成本，是商品和服务的定价成本，按社会平均成 本定价是价值规律的要求） ，它是由顾客、社会、企业，甚至国家政府共同来完成标价 的，影响它的因素大概的可以概括为四个：产品成本、市场需求、竞争需求和其他因 素。
但它是围绕在它的价值上下波动的价格的波动影响了公司生产是否积极、产品的预计需求量，最终影响公司的收益所以，在合理的市场经济条件下并且六个月的总预计需求量为定值，一定存在一 个价格（此价格约等于价值）能使得本公司的收益额最多设第 i 月价格由 240 元降为 P（P>单位数量的产品的平均收益，P0 10T2+a1T2-b1T2+a2T2-b2T2-1.6x2>0 10T3+a1T3-b1T3+a2T3-b2T3+a3T3-b3T3-1.6x3>0 10T4+a1T4-b1T4+a2T4-b2T4+a3T4-b3T4+a4T4-b4T4。
