09刚体平面运动2.ppt

理论力学,平面图形内各点的加速度,三、平面图形内各点的加速度,求平面图形内各点加速度的基点法关于加速度瞬心的概念,平面图形内各点的加速度,求平面图形内各点加速度的基点法,已知：平面图形S 内一点A 的加速度aA和图形某一瞬时的 、 求： 该瞬时图形上任一点B 的加速度解：取A 为基点，将平动坐标系固结于A点；取B 为动点，则B点的运动可分解为随基点的平移运动（牵连运动）和绕基点的圆周运动（相对运动）平面图形内各点的加速度,（加速度）基点法,由牵连运动为平动时的加速度合成定理：,可得：,方向沿AB连线，指向A点,平面图形内各点的加速度,讨论：（1）基点的相对性,以A为基点：,以B为基点：,（2）平面图形一点的加速度表达式最多可以有六项平面图形内各点的加速度,关于加速度瞬心的概念,由于 atBA 、 anBA的大小和方向随B 点位置的改变而变化，所以总可以在平面图形内找到一点Q，在此瞬时，其相对加速度的大小恰与基点A的加速度aA等值反向， Q点的绝对加速度aQ= 0，Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心一般情况下，加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点 一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式，图形上任意两点A、B 加速度的投影关系不成立，即：,当某瞬时图形 =0（瞬时平动）时，才成立投影关系：,即：若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等。

平面图形内各点的加速度,由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式所以采用基点法求平面图形上各点的加速度或图形的角加速度由于该式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，因此：,半径为R 的车轮沿直线作纯滚动，已知轮心O点的速度 vO 及加速度 aO，求车轮与轨道接触点P 的加速度解：轮O 作平面运动，P 点为速度瞬心，先求出 和 ：,例题 8——车轮滚动,取O 点为基点：,由此可知，速度瞬心P 的加速度并不等于零，它不是车轮的加速度瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，速度瞬心P 的加速度指向轮心做出加速度矢量图并向铅垂线投影，其中：,例题 8——车轮滚动,？？,√√,R√,Rw2√,解：(a) AB作平动：,已知四连杆机构的O1A=O2B =R，图示瞬时 O1A/O2B，试问在(a)、(b) 两种情况下1和 2，1和2是否相等？,(a),(b),例题 9——四连杆机构,例题 9——四连杆机构,(b),(b) AB作平面运动，在图示瞬时作瞬时平动，因此：,将加速度向AB连线投影（连杆AB作瞬时平动）：,,例题 10——曲柄滚轮机构,,曲柄滚轮机构的曲柄长度与滚轮半径均为15cm，曲柄转速 n = 60 rpm。

求：当 =60º时（OAAB）滚轮的角速度Ｂ与角加速度ＢP1为AB 杆的速度瞬心， P2 为轮 B 的速度瞬心：,解： OA定轴转动，AB杆和轮B作平面运动要求出滚轮的Ｂ与 Ｂ，应当先求出 vB与 aB,例题 10——曲柄滚轮机构,取A为基点：,作加速度矢量图，将上式向BA线上投影：,点P2为轮B 的速度瞬心：,例题 10——曲柄滚轮机构,？√,√√,？√,√√,其中：,所以：,刚体的平面运动例题,四、运动学问题综合应用例 题,如图，A、B为平面运动刚体上的两点，以A为基点（动系固结在刚体上），其位置矢量关系为：,刚体平面运动——矢量法推导,对 t 求导，求B点的速度：,再次对 t 求导，求B点的加速度：,刚体平面运动——矢量法推导,（一）概念与内容　1. 刚体平面运动的定义　　刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变　2. 刚体平面运动的简化　　可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S 在自身平面内的运动代替刚体的整体运动 3. 刚体平面运动的分解：(1)随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）(2)绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）,刚体的平面运动,4. 基点　　可以选择平面图形内任意一点（作为基点），通常选择运动状态已知的点。

5. （速度）瞬心 任一瞬时，平面图形或其延拓部分都唯一存在一个速度为零的点 瞬心的位置随时间而改变每一瞬时平面图形的运动可视为绕（该瞬时）瞬心的转动，这种（瞬时）绕瞬心的转动与定轴转动不同 若 =0，瞬心位于无穷远处，刚体上各点速度相同，刚体作瞬时平动，瞬时平动与平动不同刚体的平面运动,6. 刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例7. 求平面图形上任一点速度的方法：,刚体的平面运动,（基点法是最基本的方法）,基点法：,速度投影法：,速度瞬心法：,当瞬时平动（ =0）时也可采用投影法：（基点法在 =0 时的特例）8. 求平面图形上一点加速度的方法 基点法：,9. 刚体平面运动方法与点的合成运动方法的应用条件：平面运动方法适用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形角速度、角加速度之间的关系点的合成运动方法适用于确定两个相接触的物体在接触点处有相对运动时运动关系的传递刚体的平面运动,（二）解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动形式，注意每一次的研究对象只是一个刚体 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速度（或图形角速度）问题的方法；用基点法求加速度（或图形角加速度） 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量。

（基点法：恰当选取基点，作速度平行四边形和加速度矢量图；速度投影法：不能求出图形；速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键）,刚体的平面运动,例题 11——摇杆与套筒,摇杆OB以角速度 =2 rad/s绕轴O转动，长l =200 mm的套筒AB用铰链连接滑块A，可沿摇杆OB滑动，h=100 mm求： =30º时套筒AB上B点的速度大小解： （1）坐标法，写出B点的坐标：,上式对 t 求导，注意当 t    ，所以d /dt =-：,当 =30º时，vBx=200mm/s， vBy=-613mm/s，则：,例题 11——摇杆与套筒,解： （2）刚体平面运动法，先求A点的速度：,当 =30º时，vA=－267mm/s,再以A为基点，求套筒AB上B点的速度：,注意到套筒AB与摇杆OB的角速度相同，则：,例题 11——摇杆与套筒,解： （3）点的合成运动法：,先选动系为摇杆OB； 动点为套筒AB上A点：,再选动系—摇杆OB； 动点—套筒AB上B点：,式中 vAe =OA· = 231mm/s，则：,vAr = vAe·tan = 133mm/s,vAa = vAe/cos = 267mm/s,式中 vBe =OB· = 631mm/s，注意到vBr = vAr ，则：,例题 12——曲柄摆杆滑块机构,求：该瞬时O1D摆杆的角速度,曲柄OA= r 以匀角速度  转动，连杆AB =l 的中点C处连接一滑块C，可沿导槽O1D滑动，图示瞬时OAO1三点在同一水平线上，OAAB， =30º。

解：曲柄OA、摆杆O1D均作定轴转动，连杆AB作平面运动采用点的合成运动方法求O1D杆上与滑块C 接触点（牵连点）的速度：,例题 12——曲柄摆杆滑块机构,连杆AB在图示位置作瞬时平动，所以：,动点——连杆AB上C点（或滑块C）动系——摆杆O1D,绝对运动——曲线运动相对运动——直线运动牵连运动——定轴转动,这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题例题 12——曲柄摆杆滑块机构,解：OA定轴转动，AB、BC均作平面运动，滑块B和C均作平动1）求C点的速度——先对AB 杆应用速度投影定理：,再对BC 杆应用速度投影定理：,在配气机构中，OA=r , 以等角速度0转动，在某瞬时 = 60º，ABBC，AB=6r，BC=33r，求该瞬时滑块C的速度和加速度例题 14——配气机构,（2）求C点的加速度——先以A 为基点求B 点的加速度：,注意P1为AB 杆速度瞬心且P1A =3r,作加速度矢量图，并沿BA方向投影：,例题 14——配气机构,P2 为BC 杆速度瞬心且P2C = 9r,再以B 为基点求C 点的加速度：,将矢量式在BC 方向上投影：,30º,例题 14——配气机构,外啮合行星齿轮机构如图所示。

曲柄OA绕轴O作定轴转动，带动齿轮Ⅱ沿固定齿轮Ⅰ的齿面滚动已知定齿轮和动齿轮的节圆半径分别为r1和r2，曲柄OA在某瞬时的角速度为ω0，角加速度为α0，求该瞬时齿轮Ⅱ上的速度瞬心C 和节圆上M 点的加速度例题 15——外啮合行星齿轮机构,解：（1）整体分析——齿轮Ⅱ作平面运动，啮合点C是其速度瞬心，轮心A的速度vA为：,方向垂直于OA并与ω0的转向一致点A加速度的切向分量atA和法向分量anA 的大小分别为：,齿轮Ⅱ的角速度,，角加速度,例题 15——外啮合行星齿轮机构,其中点C 对于基点A的相对加速度的切向分量atCA和法向分量anCA的大小分别为：,由上式知atA =－atCA， anCA与anA的方向相反，故速度瞬心C 的加速度aC大小为：,方向沿CA，可见速度瞬心的加速度一般并不等于零2）求速度瞬心C 的加速度：,选轮心A为基点，则点C 的加速度为,例题 15——外啮合行星齿轮机构,其中各加速度的大小和方向分别为：,选轮心A为基点，则M点的加速度为,（3）求M点的加速度：,（⊥OA偏左上）,（沿AO连线）,（⊥MA 偏左上）,（沿MA连线）,把上面的矢量式分别投影到 x 和 y 轴上，得：,例题 15——外啮合行星齿轮机构,从而求得 M 点加速度的大小：,且 aM 对 MC 的偏角由下式决定：,求: 图示瞬时（∠OAB=60 ）B点的速度和加速度。

A,平面机构中，曲柄OA以匀角速度 绕O轴转动，曲柄长OA=r，摆杆AB可在套筒C中滑动，摆杆长AB=4r，套筒C绕定轴C转动解： 由已知条件，OA杆和套筒C均作定轴转动；AB杆作平面运动 现在AB杆上A点的速度和加速度已知，欲求B点的速度和加速度，需先求AB杆的角速度和角加速度 AB杆在套筒中滑动，所以AB杆的角速度、角加速度与套筒C的角速度、角加速度相同例题 16——曲柄滑（摆）杆机构,以A为动点，套筒C为动系，则：绝对运动——以O点为圆心的圆周运动相对运动——沿套筒C轴线的直线运动牵连运动——绕C轴的定轴转动,1、速度分析,A,其中,例题 16——曲柄滑（摆）杆机构,其中,各矢量方向如图中所示于是解得：,求B点的速度：,例题 16——曲柄滑（摆）杆机构,2、加速度分析,各矢量方向如图所示，将矢量方程中各项向aC方向投影，得到,其中,例题 16——曲柄滑（摆）杆机构,求B点的加速度：,将方程中各项分别向aC和AB方向投影，得到,其中,例题 16——曲柄滑（摆）杆机构,,谢谢大家,。