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5 层次分析法 Analytic Hierarchy Process AHP层次分析法建模一 问题的提出 日常生活中有许多决策问题决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔 买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业例4 科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题 面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策这个过程主观因素占有相当的比重，给用数学方法解决问题带来不便等人20世纪在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。

过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一层次分析法的基本思路：与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致选择钢笔质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔二 层次分析法的基本步骤买钢笔质量颜色价格外形实用可供选择的笔1 建立层次结构模型 准则层 方案层目标层 一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层例1 的层次结构模型选择旅游地景色费用居住饮食旅途苏州、杭州、桂林例2 层次结构模型 准则层A 方案层B目标层Z若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构2 构造判断矩阵设某层有个因素，要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重即把 个因素对上层某一目标的影响程度排序）用 表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则则称为判断矩阵。

上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取19尺度 尺度第 个因素与第 个因素的影响相同第 个因素比第 个因素的影响稍强 第 个因素比第 个因素的影响强 第 个因素比第 个因素的影响明显强第 个因素比第 个因素的影响绝对地强 含义比较尺度：（19尺度的含义）2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间不难定义以上各尺度倒数的含义，根据 ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311由上述定义知，判断矩阵则称为正互反矩阵满足一下性质分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途比如，例2的旅游问题中，第二层 A 的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：由上表，可得判断矩阵旅游问题的判断矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？3 层次单排序及一致性检验层次单排序：确定下层层各因素对对上层层某因素影响程度的过过程则可得判断矩阵由右面矩阵可以看出，例如 一块石头重量记为1，打碎分成 各小块，各块的重量分别记为：权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。

即，但在例2的判断矩阵中，在正互反矩阵 中，若 ,则称 为一致矩阵一致矩阵的性质：5. 的任一列都是对应于特征根 的特征向量定理： 阶正互反阵 的最大特征根 ，当且仅 当 时， 为一致矩阵若判断矩阵是一致矩阵，则我们自然会取对应于最大特征根 的归一化特征向量 ，且表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值若判断矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量 ，则这样确定权向量的方法称为特征根法.由于 连续的依赖于 ，则 比 大的越多， 的不一致性越严重用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大因而可以用 数值的大小来衡量 的不一致程度定义一致性指标其中 为 的特征根之和则可得一致性指标 定义 随机一致性指标随机构造500个判断矩阵随机一致性指标 RI 的数值： n1 234567891011 RI 0 00.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 一般，当一致性比率 的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造判断矩阵，对 加以调整。

时，认为一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1及随机一致性指标的数值表，对 进行检验的过程4 层次总排序及其一致性检验对总目标Z的排序为的层次单排序为确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序从最高层到最低层逐层进行设： 即 层第 个因素对总目标的权值为：层的层次总排序为：B层的层次总排序AB层次总排序的一致性检验设 层 对上层( 层)中因素 的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为 ，则层次总排序的一致性比率为：当 时，认为层次总排序通过一致性检验到此，根据最下层（方案层）的层次总排序做出最后决策1.建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层层次分析法的基本步骤归纳如下：2.构造判断矩阵从第二层开始用19尺度构造判断矩阵3.计算单排序权向量并做一致性检验对每个判断矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造判断矩阵4.计算总排序权向量并做一致性检验计算最下层对最上层总排序的权向量进行检验若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的判断矩阵。

利用总排序一致性比率三 层次分析法建模举例1 旅游问题分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途分别表示苏杭、北戴河、桂林 (1)建模（2）构造判断矩阵(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验判断矩阵 的最大特征值表明 通过了一致性验证故则该特征值对应的归一化特征向量 对判断矩阵 可以求层次单排序的权向量并进行一致性检验，结果如下： 计算 可知 通过一致性检验对总目标的权值为：（4）计算层次总排序权值和一致性检验又即方案层对总目标的权向量为：同理得， 对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验又 分别表示苏杭、北戴河、桂林，可作为最后的决策依据故最后的决策应为去桂林即各方案的权重排序为四 层次分析法的优点和局限性1 系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策 ，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具 2 实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法处理的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性3 简洁性 具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。

以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：1 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案2 该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题思考：多名专家的综合决策问题3 从建立层次结构模型到给出判断矩阵，人的主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径五 正互反阵最大特征值和特征向量实用算法用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时；而且判断矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的从而需要寻找简便的近似方法定理对于正矩阵 A（A的所有元素为正）1） A 的最大特征根为正单根 ；2） 对应正特征向量 w（w的所有分量为正）；3）其中是对应 的归一化特征向量1 幂法 步骤如下：1)任取初始正向量 ， 2) 计算 ， ；2)计算 ， ，3) ；3) 对于预先给定的精度 ，当 成立时，转入4)，否则令 ，转入2)；4) 归一化，即令此时的 和 即是所求的最大特征值和对应的特征向量这是求最大特征值及对应特征向量的迭代方法，其收敛性由定理的3)保证。

2 和积法 步骤如下：1) 将判断矩阵的每一列归一化 ；2) 将归一化后的矩阵按行求和 ；3) 归一化 向量，即则 即为最大特征值对应的特征向量；4) 计算判断矩阵的最大特征值 3 方根法 步骤如下：1) 计算判断矩阵每一行元素的乘积 ；2) 计算 的 次方根 ；3) 归一化 向量，即则 即为最大特征值对应的特征向量；以上三方法中，和积法最为简便看下列例子4) 计算判断矩阵的最大特征值 列向量归一化求和归一化精确计算，得。