九年级数学-相似三角形经典练习题及 参考答案.pdf

1 - 相似三角形经典练习题及参考答案 例 1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形 例 2已知：如图，ABCD中，2:1:EBAE，求AEF与CDF的周长的比，如 果 2 cm6 AEF S，求 CDF S 例 3如图，已知ABDACE，求证：ABCADE 例 4下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？ （1）所有的直角三角形都相似（2）所有的等腰三角形都相似 （3）所有的等腰直角三角形都相似（4）所有的等边三角形都相似 - 2 - 例 5如图，D点是ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在ABC的 边上，并且点D、点E和ABC的一个顶点组成的小三角形与ABC相似尽可能 多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法 例 6如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方， 把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12 个分画恰好遮住电线杆，已知手臂 长约 60 厘米，求电线杆的高 例 7 如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点 20m的A处放了一个平面 镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若5 .1ACm ，小明的眼 睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m） 例 8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由 - 3 - 例 9根据下列各组条件，判定ABC和CBA是否相似，并说明理由： （1）,cm4,cm5 .2,cm5 .3CABCABcm28,cm5.17,cm5 .24ACCBBA （2）35,44,104,35ACBA （3）48, 3 .1,5.1,48,6.2,3BCBBABBCAB 例 10如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用 字母表示出来，并简要说明识别的根据 例 11 已知：如图，在ABC中，BDAACAB,36,是角平分线，试利用三角形 相似的关系说明ACDCAD 2 - 4 - 例 12已知ABC的三边长分别为 5、12、13，与其相似的CBA的最大边长为 26，求CBA的面积 S 例 13在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回 来交流各自的测量方法小芳的测量方法是：拿一根高3.5 米的竹竿直立在离 旗杆 27 米的C处（如图） ，然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹 竿顶部E恰好在同一直线上， 又测得C 、 D两点的距离为 3 米，小芳的目高为 1.5 米，这样便可知道旗杆的高你认为这种测量方法是否可行？请说明理由 例 14如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A， 再在河的这一边选点B和C，使BCAB，然后再选点E，使BCEC，确定BC 与AE的交点为D，测得120BD米，60DC米，50EC米，你能求出两岸之间 AB的大致距离吗？ - 5 - 例 15如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE， 标杆的高都是 3 丈，相隔 1000步（1 步等于 5 尺） ，并且AB 、CD和EF在同一平 面内，从标杆DC退后 123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上， 从标杆FE退后 127 步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上求山峰 的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题） 例 16如图，已知ABC的边AB 32，AC2，BC边上的高AD3 （1）求BC的长； （2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求 这个正方形的面积 - 6 - 相似三角形经典习题答案 例1 解、、相似，、相似，、、相似 例2 解ABCD是平行四边形，CDABCDAB,//，AEFCDF， 又2:1: EBAE，3:1:CDAE，AEF与CDF的周长的比是 1：3 又)cm(6,) 3 1 ( 22 AEF CDF AEF S S S ，)cm(54 2 CDF S 例 3 分析由于ABDACE，则CAEBAD，因此DAEBAC，如果再进 一步证明 AE CA AD BA ，则问题得证 证明ABDACE，CAEBAD 又DACBADBAC，CAEDACDAE， DAEBAC ABDACE， AE AC AD AB 在ABC和ADE中， AE AC AD AB ADEBAC,，ABCADE 例 4分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此 直角三角形的形状不同 （2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同 （3）正确设有等腰直角三角形ABC和CBA，其中90CC， 则45,45BBAA， 设ABC的三边为a、b、c，CBA的边为cba、、， 则acbaacba2,,2,， a a c c b b a a ,，ABCCBA （4）也正确，如ABC与CBA都是等边三角形，对应角相等，对应边都成 比例，因此ABCCBA 答： （1） 、 （2）不正确（3） 、 （4）正确 例 5解： - 7 - 画法略 例 6分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60DF厘 米6.0米，12GF厘米12.0米，30CE米，求BC由于ADF AC AF EC DF AEC, ， 又ACFABC， BC GF EC DF ，从而可以求出BC的长 解ECDFECAE//,，EACDAFAECADF,， ADFAEC AC AF EC DF 又ECBCECGF,，ABCAGFACBAFGBCGF,,//， AGFABC， BC GF AC AF ， BC GF EC DF 又60DF厘米6 .0米，12GF厘米12. 0米，30EC米，6BC米即电 线杆的高为 6 米 例 7分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA与MNA 的相似关系就明确了 解因为MANBACANMNCABC,,，所以BCAMNA 所以ACANBCMN::，即5. 1:206.1:MN所以3 .215. 1206. 1MN（m ） 说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪 器测量的麻烦 例 8分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的实际上格点无形 中给图形增添了条件长度和角度 解在格点中BCABEFDE,，所以90BE， 又 4,2,2, 1ABBCDEEF所以 2 1 BC EF AB DE 所以DEFABC 说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏 例 9解（1）因为 7 1 28cm 4cm , 7 1 17.5cm 2.5cm , 7 1 24.5cm 3.5cm AC CA CB BC BA AB ， 所以ABCCBA； （2）因为41180BAC，两个三角形中只有AA， 另外两个角都不相等，所以ABC与CBA不相似； （3）因为 1 2 , CB BC BA AB BB，所以ABC相似于CBA - 8 - 例 10解 （1）ADEABC两角相等； （2）ADEACB两角相等； （3）CDECAB两角相等； （4）EABECD两边成比例夹角相等； （5）ABDACB两边成比例夹角相等； （6）ABDACB两边成比例夹角相等 例 11分析有一个角是 65的等腰三角形，它的底角是72，而BD是底角 的平分线，36CBD，则可推出ABCBCD，进而由相似三角形对应边成 比例推出线段之间的比例关系 证明 ACABA,36，72CABC 又BD平分ABC，36CBDABD BCBDAD，且ABCBCD，BCCDABBC::， CDABBC 2 ， CDACAD 2 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角 形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些 边是对应边 （2）要说明线段的乘积式cdab，或平方式 bca 2 ，一般都是证明比例 式， b d c a ，或 c a a b ，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式 例 12 分析由ABC的三边长可以判断出ABC为直角三角形，又因为ABC CBA，所以CBA也是直角三角形，那么由CBA的最大边长为26，可以求 出相似比，从而求出CBA的两条直角边长，再求得CBA的面积 解设ABC的三边依次为，13,12,5ABACBC， 则 222 ACBCAB，90C 又ABCCBA，90CC 2 1 26 13 BA AB CA AC CB BC ， 又 12,5 ACBC，24,10CACB 1201024 2 1 2 1 CBCAS - 9 - 例 13分析 判断方法是否可行， 应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否 求出旗杆的高 按这种测量方法， 过F作ABFG于G，交CE于H，可知AGF EHF，且GF 、HF 、EH可求，这样可求得AG，故旗杆AB可求 解这种测量方法可行理由如下： 设旗杆高xAB过F作ABFG于G，交CE于H（如图） 所以AGFEHF 因为3,30327,5 .1HFGFFD， 所以5 .1, 25.15.3xAGEH 由AGFEHF，得 HF GF EH AG ，即 3 30 2 5.1x ， 所以205 .1x，解得5.21x（米） 所以旗杆的高为 21.5 米 说明在具体测量时，方法要现实、切实可行 例 14. 解： 90,ECDABCEDCADB， ABDECD，100 60 50120 , CD ECBD AB CD BD EC AB （米） ， 答：两岸间AB大致相距 100 米 例 15. 答案：1506AB米，30750BD步， （注意： AK FE FH KEAK CD DG KC, ） 例 16. 分析：要求BC的长，需画图来解，因AB、AC都大于高AD，那么有两种 情况存在，即点D在BC上或点D在BC的延长线上，所以求BC的长时要 分两种情况讨论求正方形的面积，关键是求正方形的边长 解： （1）如上图，由ADBC，由勾股定理得BD3，DC1， 所以BCBDDC314 如下图，同理可求BD3，DC1， - 10 - 所以BCBDCD312 （2）如下图，由题目中的图知BC4，且 162)32( 2222 ACAB，16 2 BC， 222 BCACAB所以ABC是直角三角形 由AEGF是正方形，设 GFx，则FC2x， GFAB， AC FC AB GF ，即 2 2 32 xx 33x， 3612)33( 2 AEGF S正方形 如下图，当BC2，AC2，ABC是等腰三角形，作CPAB于P， AP3 2 1 AB，在 RtAPC中，由勾股定理得CP1， GH AB， CGH CBA， x xx1 32 ， 321 32 x 121 348156 ) 321 32 ( 2 GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612或 121 348156 。