小波分析方法及其应用.doc

小波分析方法及其应用* 1.小波和小波分析　 　　“小波分析(Wavelet Analysis)”是一种新的分析方法，它是继Fourier分析之后纯粹数学和应用数学完美结合的又一光辉典范小波分析的产生、发展、完善和应用始终受惠于计算机科学、信号处理、图象处理、应用数学和纯粹数学、地球科学等众多科学研究领域和工程技术应用领域的专家、学者和工程师们的共同努力正因为如此，小波分析现在已成为科学研究和工程技术应用中涉及面极其广泛的一个热门话题1.1小波和小波变换　　为了行文方便，我们约定，一般用小写字母，比如f(x)表示时间信号或函数，其中括号里的小写英文字母x表示时间域自变量，对应的大写字母，这里的就是F(ω)表示相应函数或信号的Fourier变换，其中的小写希腊字母ω表示频域自变量；尺度函数总是写成φ(x)(时间域)和Φ(ω)(频率域)；小波函数总是写成ψ(x)(时间域)和Ψ(ω)(频率域)考虚函数空间L2(R)，它是定义在整个实数轴R上的满足要求　　(1.1.1)的可测函数f(x)的全体组成的集合，并带有相应的函数运算和内积工程上常常说成是能量有限的全体信号的集合1.1.1小波(Wavelet)　　小波就是函数空间L2(R)中满足下述条件的一个函数或者信号Ψ(x):　　(1.1.2)这里，R*=R-｛0｝表示非零实数全体。

有时，ψ(x)也称为小波函数，(1.1.2)称为容许性条件对于任意的实数对(a,b)，其中，参数a必须为非零实数，称如下形式的函数　　(1.1.3)为由小波母函数ψ(x)生成的依赖于参数(a,b)的连续小波函数，简称为小波　　注释：(一)如果小波母函数ψ(x)的Fourier变换Ψ(ω)在原点ω=0是连续的，那么，公式(1.1.2)说明Ψ(0)=0，即Rψ(x)dx=0这说明函数ψ(x)有“波动”的特点，另外，公式(1.1.1)又说明，小波函数ψ(x)只在原点的附近它的波动才会明显偏离水平轴，在远离原点的地方函数值将迅速“衰减”为零，整个 波动趋于平静这是称函数ψ(x)为“小波”函数的基本原因；(二)对于任意的参数对(a,b)，显然Rψ(a,b)(x)dx=0，但是，这里ψ(a,b)(x)却是在x=b的附近存在明显的波动，而且，有明显波动的范围的大小完全依赖于参数a的变化当a=1时，这个范围和原来的小波函数ψ(x)的范围是一致的；当a＞1时，这个范围比原来的小波函数ψ(x)的范围要大一些，小汉的波形变矮变胖，而且，当a变得越来越大时，小波的波形变得越来越胖、越来越矮，整个函数的形状表现出来的变化越来越缓慢；当0＜a＜1时，ψ(a,b)(x)在x=b的附近存在明显波动的范围比原来的小波母函数ψ(x)的要小，小波的波形变得尖锐而消瘦。

　　作为例子，这里给出Shannon小波的图形图1　Shannon小波母函数的图形1.1.2　小波变换(Wavelet Transform)　对于任意的函数或者信号f(x)，其小波变换是　　(1.1.4)因此，对任意的函数f(x)，它的小波变换是一个二元函数这是和Fourier变换很不相同的地方另外，因为小波母函数ψ(x)只有在原点的附近才会有明显偏离水平轴的波动，在远离原点 的地方函数值将迅速衰减为零，整个波动趋于平静，所以，对于任意的参数对(a,b)，小波函数ψ(a,b)(x)在x=b的附近存在明显的波动，远离x=b的地方将迅速地衰减到0，因而，从形式上可以看出，(4)式的数值Wf(a,b)表明的本质上是原来的函数或者信号f(x)在x=b点附近按ψ(a,b)(x)进行加权的平均，体现的是以ψ(a,b)(x)为标准快慢的f(x)的变化情况，这样，参数b表示分析的时间中心或时间点，而参数a体现的是以x=b为中心的附过范围的大小，所以，一般称参数a为尺度参数，而参数b为时间中心参数 1.2小波变换的性质　　(1)小波变换的Parseval恒等式　　(1.2.1)对空间L2(R)中的任意的函数f(x)和g(x)都成立。

这说明，小波变换和Fourier变换一样，在变换域保持信号的内积不变，或者说，保持相关特性不变(至多相差一个常数倍)，只不过，小波变换在变换域的测度应该取为dadb/a2，而不象Fourier变换那样取的是众所周知的Lebesgue测度，小波变换的这个特点将要影响它的离散化方式，同时，决定离散小波变换的特殊形式　　(2)小波变换的反演公式　　利用小波变换的Parseval恒等式(1.2.1)可得，在空间L2(R)中小波变换有反演公式　　(1.2.2)特别是，如果函数f(x)在点x=x0连续，那么，小波变换有如下的定点反演公式　　(1.2.3)　　这说明，小波变换作为信号变换和信号分析的工具在变换过程中是没有信息损失的这一点保证了小波分析在变换域对信号进行分析的有效性　　(3)吸收公式　　当吸收条件　　(1.2.4)成立时，可得到如下的吸收Parseval恒等式　　(1.2.5)　　(4)吸收公式　　当吸收条件(1.2.4)成立时，可得相应的吸收逆变换公式　　(1.2.6)这时，对于空间L2(R)中的任何函数或者信号f(x)，它所包含的信息完全被由a＞0所决定的半个变换域上的小波变换｛Wf(a,b);a＞0,b∈R｝所记忆。

这一特点Fourier变换不具备1.3 离散小波和离散小波变换　　出于数值计算的可行性和理论分析的简便性考虑，离散化处理都是必要的1.3.1 二进小波和二进小波变换　　如果小波函数ψ(x)满足稳定性条件　(1.3.1)则称ψ(x)为二进小波，对于任意的整数k,记ψ(2-k,b)(x)=2ψ(2k(x-b))　　(1.3.2)它是连续小波ψ(a,b)(x)的尺度参数a取二进离散数值ak=2-k函数f(x)的二进离散小波变换记为Wkf(b)，定义如下：　　(1.3.3)这时，二进小波变换的反演公式是　　(1.3.4)其中，函数t(x)满足　　(1.3.5)称为二进小波ψ(x)的重构小波这里，如前述约定，记号ψ(ω),T(ω)分别表示函数ψ(x)和t(x)的Fourier变换重构小波总是存在的，譬如可取：当然，重构小波一般是不唯一的，但重构小波一定是二进小波1.3.2 正交小波和小波级数　　设小波为ψ(x),如果函数族｛ψk,j(x)=2ψ(2kx-j);(k,j)∈ZZ｝　　(1.3.6)构成空间L2(R)的标准正交基，即满足下述条件的基：则称ψ(x)是正交小波，其中符号δ(m)的定义是　称为Kronecker函数。

这时，对任何函数或信号f(x)，有如下的小波级数展开　　(1.3.8)其中的系数Ak,j由公式　　(1.3.9)给出，称为小波系数容易看出，小波系数Ak,j正好是信号f(x)的连续小波变换Wf(a,b)在尺度系数a的二进离散点ak=2-k和时间中心参数b的二进整倍数的离散点bj=2-kj所构成的点(2-k,2-kj)上的取值，因此，小波系数Ak,j实际上是信号f(x)的离散小波变换也就是说，在对小波添加一定的限制之下，连续小波变换和离散小波变换在形式上简单明了地统一起来了，而且，连续小波变换和离散小波变换都适合空间L2(R)上的全体信号　　作为结束，给出一个最简单的正交小波，即Haar小波Haar函数h(x)是数学家A.Haar在本世纪三十年代给出的定义为这时，函数族hj,k(x)=2h(2jx-k);(j,k)∈ZZ构成函数空间L2(R)的标准正交基，所以，Haar函数h(x)是正交小波，称为Haar小波验证是比较容易的，只要注意到的图形随(j,k)变化的特点就可以了这里示范性地给出h(x)和hj，k(x)的几个图形，如图2图2　小波函数h(x),h1,0(x),h1,1(x),h-1,0(x)的图形2.正交小波和多分辨分析　　前面已经指出，连续小波变换和离散小波变换具有统一的形式，特别是正交小波的引入，使一个小波函数的“伸缩”和“平移”产生的函数族构成函数空间L2(R)的一个标准正交基，这给信号分析和一般的数据处理带来许多方便。

这样就产生一个问题：具有如此良好性质的正交小波是否存在?再者，从应用的角度会问，这样的小波是否足够丰富，除少数典型的正交小波之外，另外的小波能否具备某些特殊的分析性质，以满足各种不同的实际问题的特殊需要?这一部分内容就是为回答这些问题准备的2.1多分辨分析2.1.1多分辨分析(Multiresolution Analysis)　　设｛Vj;j∈Z｝是L2(R)上的一列闭子空间，φ(x)是L2(R)中的一个函数，如果它们满足如下的五个条件，即　　①单调性：　　(2.1.1)　　②唯一性：　　(2.1.2)　　③稠密性：　　(2.1.3)　　④伸缩性：　　(2.1.4)　　⑤可构造性：｛φ(x-n);n∈Z｝　　(2.1.5)构成子空间V0的标准正交基那么，称｛｛Vj;j∈Z｝;φ(x)｝是L2(R)上的一个正交多分辨分析，简记为多分辨分析由多分辨分析的定义，容易得到一个重要结果，即函数族　　(2.1.6)是Vj空间的标准正交基下面将要讨论的是如何由这个多分辨分析去构造L2(R)的一个正交小波ψ(x),使　　(2.1.7)构成L2(R)的标准正交小波基2.1.2小波构造　　对j∈Z，定义子空间Wj∶Wj⊥Vj,Vj+1=WjVj,则子空间序列｛Wj;j∈Z｝具有下述性质：　　①j≠l,Wj⊥Wl　　(2.1.8)　　②　　③　　(2.1.9)因此，根据②可知，为了得到空间L2(R)的标准正交基，只需构造每一个子空间Wj的标准正交基；再由③得到，这只需构造W0的标准正交基就足够了。

因此，问题转化为构造函数ψ(x)，函数族｛ψ(x-k);k∈Z｝是W0的标准正交基2.1.2.1尺度方程和构造方程　　由于φ(x)∈V0V1而且V1有标准正交基｛φ(2x-n);n∈Z｝，所以，必存在唯一的系数序列｛hn;n∈Z｝∈l2(Z),使得　　(2.1.10)称它为尺度方程因为，小波ψ(x)∈W0V1,所以，存在序列｛gn;n∈Z｝，使得　　(2.1.11)称之为构造方程引入记号　(2.1.12)H(ω)和Γ(ω)分别称为低通滤波器和高通滤波器这样(2.1.10)和(2.1.11)可写成　　2.1.132.1.2.2标准正交系　　引理　设函数s(x)∈L2(R)，那么｛s(x-n);n∈Z｝构成L2(R)的标准正交系，即（s(.-n),s(.-l)）=δ(n-l)　　(2.1.14)的充分必要条件是　　(2.1.15)事实上由于函数族｛｝是L2(0，2π)的标准正交基，因此，(2.1.14)等价于(2.1.15)2.1.2.3尺度函数和低通滤波器　　因｛φ(x-n);n∈Z｝构成V0的标准正交基，故,a.e.ω∈R,将(2.1.13)代入等式左边得所以，低通滤波器满足｜H(ω)｜2+｜H(ω+π)｜2=1,a.e.ω∈R　　(2.1.16)2.1.2.4小波函数和高通滤波器　　因为小波函数的整数平移族｛ψ(x-k);k∈Z｝应该构成W0的标准正交基，所以，由(2.1.13)的第二式得｜Γ(ω)｜2+｜Γ(ω+π)｜2=1,a.e.ω∈Rｖ　　(2.1.17)2.1.2.5低通滤波器和高通滤波器　　由于子空间W0是V0在V1中的正交补空间，因此，函数族｛ψ(x-k);k∈Z｝和函数族｛φ(x-n);n∈Z｝。