用向量法探究点的位置.docx

空间角探究性问题的向量法求解策略】用向量法探究点的 位置立体几何中空间角的探究性问题既能够考查学生的空间想象能 力，又可以考查学生的意志力及探究的能力，是命题的热点．因此， 对于常见的探究方法的总结是必不可少的． 一、探究两条异面直线 所成的角【例 1】 如图 1，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在平面互相 垂直，AB=2, AF=1，试段AC上确定一点P,使得PF与BC所成 的角是 60°，并加以证明.分析：设AP=x(0WxW2)，利用PF与BC所成的角是60°来构建以 x 为元的方程，再解 x 就确定了点 P 的位置.图1解：・・•正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，・：AF丄 AC, AF丄平面 ABCD.又 AB=2,AF=1,AC=2,设 AP=x(0WxW2)，以A为坐标原点，直线AB、AD、AF分别为x、y、z轴的正方 向，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,0,1),P(2x2,2x2 ,0)，・・・BC=(0,2,0),PF=(—22 x,—22 x,1).要使PF与BC所成角是60°,只需使|BC?PF||BC|?|PF| =cos60°，所以x2?x2+l=12,・・・x=l,所以当点P是线段AC的中点时， PF与BC所成的角为60° .二、探究直线与平面所成的角图2【例2】如图2，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的 直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=3,BD=CD=1，另一个侧面是正三 角形，段AC 上是否存在一点E,使ED与面BCD成角30°,若存 在，确定E的位置；若不存在，请说明理由.分析：在AC上任取一点E,使CE=x(0WxW2)，利用ED与面BCD所成的角为30°来构建方程，再求x.解：以D为坐标原点，以直线DB、DC分别为x轴、y轴的正方 向，以过D与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，E(22x,l,22x),DE=(22x,l，22x),又平面BCD的一个法向量为a=(0,0,l)，要使ED与面BCD成角 30°，只需使 DE 与 n 成 60°，只需使|DE?n||DE|?|n|二cos60°，即22xx2+l=12, .*.x=1，当CE=1时,ED与面BCD成30°角.三、探究二面角【例 3】 如图 3,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD二AA1=1,AB=2, 点E在棱AB上移动，当AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为n 4 .分析：设AE=x(0WxW2)，利用二面角D1-EC-D的平面角的大 小为n4来构建以x为元的方程，再求解x，就确定AE的值了.图3解：・・・ABCD-A1B1C1D 1是长方体，AD=A1A=1，AB=2，以D为坐标 原点，分别以直线DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，建立 空间直角坐标系，则AE=x(0WxW2)，则 D(0,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),E(1,x,0), ・・・CE=(1,x—2,0),CD1=(0,—2,1).设平面D1EC的一个法向量为n=(a,b,c)，由 n?CE=0， n?CD1=0，令b=1,则c=2, a=2-x,・：n=（2-x,l,2）.又平面的一个法向量为DD1=（0,0,1）,要使二面角D1-EC-D的大小为n4 ,只需使DE?n||DE|?|n| =cosn4 ,.・.21X（x-2）2+5 =22,・・・x=2-3,x=2+3 （舍去），所以当AE = 2-3时，二面角D1-EC-D大小为n4 .对于立体几何的探索性问题一般都是条件开放性的探究问题, 采用的方法一般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这 个结论成立的充分条件，运用方程的思想或向量的方法转化为代数的 问题来解决.对于立体几何的探索性问题最适合用空间向量的方法， 只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中把“是否存在的问题”转 化为“点的坐标”是否有解、“是否有规定范围内”有解的问题，使 问题得到简单、有效地解决.（金 铃）内容仅供参考。