第三章中世纪的中国数学.doc

第三章 中世纪的中国数学 可以肯定的是，中国（古代）科学所达到的境界是达·芬奇式的，而不是伽利略式的    ——李约瑟章节概览（图示）中世纪的中国数学《周髀算经》与《九章算术》刘徽和祖冲之父子宋元数学学习目标1. 通过学习了解中世纪中国数学所处的年代；2. 知道中国古代最早的数学著作的名称，该书的成就；3. 中国古典数学最重要的著作的名称、该书的成就；4. 明确“算经十书”具体指哪些书籍，以及本教材对该些书籍主要介绍了哪些内容？5. 要了解中世纪中国数学家刘徽和祖冲之父子、杨辉、秦九韶、朱世杰的主要数学成就学习内容：历史背景从公元476年西罗马帝国灭亡到14世纪文艺复兴长达1000多年的欧洲历史称为欧洲中世纪中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元14世纪与希腊数学相比,中国的数学着重算法的概括,不讲究命题的形式推导.中世纪的中国数学时间从公元前后至公元14世纪,先后经历了三次发展高潮,即秦汉和西汉时期、魏晉南北朝时期以及宋元时期,其中宗元时期达到了中国古典数学的顶峰.中国数学发达的历史至少有四千多年，这是其他任何国家所不能比拟的世界上其他文明古国的数学史，印度达3500年至4000年左右；希腊的从公元前六世纪到公元四世纪，达一千年；阿拉伯的数学仅限于8至13世纪，有500多年；欧洲国家的在10世纪以后才开始；日本的则迟至17世纪以后。

所以我国是世界上数学历史最长的国家就整个河谷文明而言，中国数学延续的时间最长，而且形成以算法为中心、注重数学的实际应用为特征的数学体系，异于西方的演绎数学从公元前后至公元14世纪，先后出现过三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了世界古典数学的顶峰中国数学史，就是研究中国数学发展规律的学科；中国数学史，既可以看作是中国历史上的数学；也可以看作是中国数学的发展历史研究中国数学史，要研究中国历代的数学成果，也要研究中国历史上各种数学学术活动、数学思想、社会背景、以及一切有关记载；研究中国数学史的方法，计有考证法、分析法、议论法、演理法等，但在这些方法中，最重要的当推“考证法”知识点1——中国古代数学的萌芽---(石器时代、青铜时代与夏商周时期)    原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了    西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。

据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具    商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物    公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程 积累与奠基时期---(春秋战国、秦、西汉时期)东周时期开始利用铁器，生产力逐渐提高，生产方式有所改变从春秋以来，奴隶制的农村公社逐渐瓦解由于各国畴人的努力，天文、历法工作有了显著成就战国时期，奴隶制度逐渐破坏，封建制度逐渐建立起来算筹是我国古代人用的计算工具筹”就是一般粗细，一般长短的小竹棍，用算筹进行计算叫做筹算到春秋战国时期，人们已经能熟练地进行筹算   春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。

这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高    战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题    而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物墨家给出一些数学定义例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等    墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点    名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的　中国文明早期的数学成果：（1）十进制位值制记数法；（2）计算工具----算筹的发明与使用；（3）度量衡制度与大小数名的制定；（4）分数的发明与计算；（5）四则运算方法的形成；（6）几何图形观念的形成与测量法萌芽；（2）某些数学模型的确立。

知识点2——中国古代数学发展的第一次高峰——中国古代数学体系的形成秦汉（图1）是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现《算数书》（图2）：中国现存最早的数学专著《周髀算经》（图3）：编纂于西汉末年，天文学著作两项重要数学成就：勾股定理的普遍形式，数学在天文测量中的应用《周髀算经》不仅成书的年代无法考证，连作者也不详，这与《几何原本》的命运有别这部著作中最让人感兴趣的数学结果有两个一个当然是勾股定理了，即关于直角三角形的毕达哥拉斯定理，该定理的得出至少是在毕氏在世（公元前6世纪）以前，但是没有欧几里得在《几何原本》（公元前3世纪）之第一卷命题47中所提供的证明有意思的是，该定理是以记载西周初年（公元前11世纪）政治家周公与大夫商高讨论勾股测量的对话形式出现的   商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径五”，这是勾股定理的特例，因此它又被称为商高定理书中还记载了周公后人的一段对话，包含了勾股定理的一般形式：       ……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。

       不难看出，这是从天文测量中总结出来的规律在中国古文里，勾和股分别指直角三角形中较短和较长的直角边，而髀的意思是大腿或大腿骨，也是测量日高的两处立表《周髀算经》中另一个重要的数学结论即所谓的日高公式，它在早期天文学和历法编制中被广泛使用    此外，书中还有分数的应用、乘法的讨论以及寻找公分母的方法，表明平方根已经被应用了值得一提的是，该书的对话中还提到了治水的大禹，伏羲和女娲手中的规和矩，这无疑表明已经需要测量术和应用数学了此外，书中还有几何学产生于计量的个别观点李约瑟认为，这似乎表明我们祖先从远古时代起就具有算术和商业头脑，他们对那种与具体数字无关的、单从某种假设出发得以证明的定理和命题所组成的抽象的几何学不是很感兴趣    值得欣慰的是，公元3世纪，三国时代的东吴数学家赵爽用非常优美的方法证明了勾股定理他是在注释《周髀算经》时运用面积的出入相补法给出证明的 《九章算术》：中国传统数学最重要的著作，全书246个问题，分成九章它完整地叙述了当时已有的数学成就，在长达一千多年间，一直作为中国的数学教科书，并被公认为世界数学古典名著之一《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成。

《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都是很高的其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系   《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等    这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。

它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展知识点3——中国古代数学发展的第二次高峰---中国传统数学理论的深化   从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝数学上以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中国传统数学稳步发展的时期《九章算术》注释中最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子    1、刘徽的割圆术        公元391年，中国的东汉（发明造纸术的蔡伦和大科学家张衡*在世）已经分裂，隋朝尚未建立，正处于历史动荡的魏晋南北朝时代在长期独尊儒学之后，学术界的思辩之风再起，于是有了我们今日仍津津乐道的“魏晋风度”和“竹林七贤”，等等      在这样的社会和人文环境下，中国的数学研究也兴起了论证的热潮，多部学术著作以注释《周髀算经》或《九章算术》的形式出现，实质上是要给出这两部著作中一些重要结论的证明上一节我们提到的赵爽（三国东吴人）便是其中的先驱人物，成就更大的是刘徽，他和赵爽的生卒年均无法考证，我们只知道他也生活在公元3世纪，并于263年（魏国和吴国均未灭亡）撰写了《九章算术注》。

因此，难以断定两人哪个在先，反正他们是取得重要成就的中国数学家中最早留名的        刘徽用几何图形分割后重新拼合（出入相补法）等方法验证了《九章算术》中各种图形计算公式的正确性，这与赵爽证明勾股定理一样，开创了中国古代史上对数学命题进行逻辑证明的范例刘徽也注意到了这种方法的缺陷，即与平面的情形不同，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补为了绕过这一障碍，一些数学家们不约而同的借助于无限小的方法，如同阿基米德所做的那样刘徽采用了极限和不可分量两种无限小方法，指出《九章算术》中的球体积计算公式是错误的        确切地说，刘徽是在一个立方体内作两个垂直的内切圆柱，所交的部分刚好把立方体的内切球包含在内且与之相切，他称之为“牟合方盖”刘徽发现，球体积与牟合方盖体积之比应该为л/4，这里他实际上接近了积分学中以意大利数学家命名的“卡瓦列利原理”，可惜他没有总结出一般的形式，以至于无法计算出“牟合方盖”体积，也就难以获得球体积公式不过，他所用的方法为两个世纪以后祖冲之父子最终的成功推导铺平了道路        除了对9章逐一注释以外，此书的第10章是刘徽自己的一篇论文，后来又单独刊行，称为《海岛算经》，书中发展了古代天文学中的“重差术”，成为测量学的典籍。

当然，刘徽最有价值的工作是注方田（第1章）中所引进的割圆术，用以计算圆的周长、面积和圆周率。