微分方程的建立与求解.ppt

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 本章主要研究内容：本章主要研究内容：•微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解•零输入、零状态、冲激、阶跃响应零输入、零状态、冲激、阶跃响应•卷积、算子卷积、算子信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系一、微分方程的建立一、微分方程的建立1．元件约束特性．元件约束特性①①电路元件路元件i)电阻阻R：： R_+i*时间域进行，不变换时间域进行，不变换*直观，物理概念清楚直观，物理概念清楚*其它变换域方法基础其它变换域方法基础*重新得到关注和重视重新得到关注和重视v_+Liii)电感感L：：v+i_Ciii)电容容C：：元件约束特性元件约束特性→网网络拓扑拓扑约束束(方程方程) →微分方程微分方程信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系iv)互感互感M：：L1Mv1L2i2i1--++v2 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系②②机械元件机械元件ii) 弹性系数性系数：：iii) 质量量：：i) 摩擦系数摩擦系数：：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系2．网．网络拓扑拓扑约束束ii)KCL：：②②机械系机械系统：达朗：达朗贝尔尔原理原理ii)①①电路系统电路系统i)KVL：：i)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系4．电路类微分方程建立例子．电路类微分方程建立例子3．不同性质系统可用相同微分方程描述．不同性质系统可用相同微分方程描述数学模型，数学抽象，无物理意义数学模型，数学抽象，无物理意义<例见书上例见书上P43~P44>[例例1]：求下面电路的微分方程：求下面电路的微分方程+_+_+_e(t)v1(t)uv1(t)+_v0(t)CR解解: C两端电压两端电压信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系5．机械．机械类微分方程建立例子微分方程建立例子[例例2]：理想火箭推：理想火箭推动器模型的微分方程器模型的微分方程火箭火箭m1载荷荷m2摩擦系数摩擦系数f1摩擦系数摩擦系数f2输入入:推推进力力e(t)k输出出:荷荷载舱速度速度 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系解：解：由由(2)还可得：可得： (4)由由(2)可得：可得： (3)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系把把(3)和和(4)代入代入(1)可得：可得：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系e(t)r(t)6．．线性性时不不变系系统的微分方程特点的微分方程特点②②若若组成系成系统的元件的元件线性、参数恒定且性、参数恒定且无初始无初始储能能，，则系系统为线性性时不不变系系统+-iL(0-)=0Lvc(0-)=0-+ C0-:激励加入前的时刻激励加入前的时刻①①一般形式：线性常系数微分方程一般形式：线性常系数微分方程信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系二、二、微分方程的微分方程的经典典时域求解法域求解法（（齐次解次解+特解法）特解法）②②齐次解次解形式：形式：函数的函数的线性性组合合代入上式化代入上式化简得得特征方程特征方程令令①①齐次方程：齐次方程：1．齐次解（自由响应）．齐次解（自由响应）有有n个根个根特征根特征根信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系③③各种特征根情况下的各种特征根情况下的齐次解形式次解形式ii)为k重特征根，与重特征根，与有关的有关的齐次解部分：次解部分：iii)与与为共共轭复根复根（一重），（一重），对应齐次解部分：次解部分：iv)与与为共共轭复根复根（（k重），重），对应齐次解部分次解部分为：：i) 互不相同实根：互不相同实根：特征根决定了系特征根决定了系特征根决定了系特征根决定了系统统自由响自由响自由响自由响应应的全部函数形式的全部函数形式的全部函数形式的全部函数形式信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系[例例3]：求下列微分方程的齐次解形式：求下列微分方程的齐次解形式①①解：解：= -1，，= -2②② 解：解：= -2(二重二重)，，= -3信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系③③(一重共一重共轭)解：解：④④解：解：= 0(二重二重)，，(一重共一重共轭)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系⑤⑤解：解： (二重共二重共轭)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系2．特解（．特解（强强迫响迫响应）：）：由激励形式和特征根情况共同决定由激励形式和特征根情况共同决定①①将激励代入微分方程右端，化将激励代入微分方程右端，化简得自由得自由项（（t>0时））②②根据自由根据自由项形式与特征根情况形式与特征根情况设特解特解 。

见特解表特解表<为什么要考什么要考虑特征根情况特征根情况?>信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系注：注：为为 次多项式；次多项式；为为s次多项式；次多项式；；；为为次多项式；次多项式；，，为为 l 次多项式次多项式信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系③③确定特解：特解代入方程，求特解中待定系数确定特解：特解代入方程，求特解中待定系数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系[例例4]：求下列微分方程在：求下列微分方程在不同激励不同激励下的特解下的特解①①自由自由项=，，0不是特征根，不是特征根，=代入左端令代入左端令对应系数相等可得：系数相等可得：B0=0.5, B1=-0.5, B2特征根：特征根：解：解：i)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系ii)自由自由项=, t>0时为0，故特解，故特解= 0iii)，代入左端令对应系数相等可得：，代入左端令对应系数相等可得：B=1 自由自由项=，，t>0时为，，-2为1重特征根重特征根信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系iv) t>0 时自由自由项=，，1不是特征根，不是特征根，代入左端令代入左端令对应系数相等可得：系数相等可得：B=1/3代入左端令代入左端令对应系数相等可得：系数相等可得：=t>0 时自由自由项=，，-1为1重特征根，重特征根，v)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系[例例4]：求下列微分方程的特解：求下列微分方程的特解②②i)iii)ii) 解：解：(一重共一重共轭)特征根：特征根：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系t>0时自由自由项=，，为1重特征根，重特征根，代入左端令对应系数相等代入左端令对应系数相等可得：可得：B1=0,B2=t(B1+B2)，，i)代入左端令对应系数相等代入左端令对应系数相等可得：可得：t>0时自由自由项=，，不是特征根，不是特征根，=(B1+B2)，， t>0时自由自由项=，，-1不是特征根，不是特征根，=B代入左端令代入左端令对应系数相等可得：系数相等可得：B=0.2ii)iii)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系[例例4]：求下列微分方程的特解：求下列微分方程的特解③③i)ii)iii)解：解：(一重共一重共轭)特征根：特征根：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系i) t>0时自由自由项=，，不不为特征根，特征根，=B1+B2B1=0,B2iii) t>0时自由自由项=，，-1不是特征根，不是特征根，=Bii) t>0时自由自由项=，，为1重特征根，重特征根，= t(B1+ B2)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系[例例4]：求下列微分方程的特解：求下列微分方程的特解④④i)ii)iii)解：解：(二重二重)特征根：特征根：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系解：解： i) t>0时自由自由项=，，-1是是2重特征根，重特征根，=Bt2ii) t>0时自由自由项= t，，-1是是2重特征根，重特征根，= t2(B1t+B2) iii) t>0时自由自由项=，，-1是是2重特征根，重特征根，= t2(B0t2+B1t+B2)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系①① 写出完全解：写出完全解：其中其中ii)初始条件初始条件iii)设n个特征根个特征根互不相同，互不相同，则将初始条件代入，可得如下方程将初始条件代入，可得如下方程组：： 3．完全解．完全解有有n个待定系数个待定系数②② 待定系数由初始条件确定待定系数由初始条件确定注意两种描述：注意两种描述：起始状态起始状态0-，，初始条件初始条件0+为待求系数为待求系数i)求解区求解区间激励激励t=0时刻加入时刻加入0+状态状态信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系见P47信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系其中：其中： 为范德蒙矩范德蒙矩阵，一定可逆，故：，一定可逆，故：③③若不给定初始条件，怎么由起始状态确定若不给定初始条件，怎么由起始状态确定ii)已知已知电路路图，由，由求求<一般不跳变的含义？一般不跳变的含义？>的原理是：的原理是：电容电压，电感电流一般不跳变电容电压，电感电流一般不跳变iii)已知微分方程与激励，由已知微分方程与激励，由求求冲激函数匹配法和目冲激函数匹配法和目测法法的方法是：的方法是：i)起始状起始状态：系：系统在加入激励前的瞬在加入激励前的瞬间的一的一组状状态，即，即0-状态状态信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系[例例5]：已知：已知电路路图，，t=0时刻开关刻开关S从从1打向打向2，求，求i(t)vc(t)R2=1.5ΩC=1FL=0.25H+_+_e(t)=2V+_S 12ic(t)iL(t)R1=1Ωi(t)e(t)=4V信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系①①由元件由元件约束、网束、网络拓扑拓扑约束列写微分方程束列写微分方程(S拨至至2列写列写)②②由特征根写出由特征根写出齐次解形式次解形式i)特征方程：特征方程：，，ii)齐次解形式：次解形式：解：解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系④④求完全解中的求完全解中的齐次解待定系数次解待定系数i)写出完全解形式：写出完全解形式：ii)求求换路前的起始状路前的起始状态i) t>0时自由自由项=4×4ii)0不是特征根，不是特征根，设特解特解为③③求特解求特解iii)代入方程解得代入方程解得B=8/5信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系iii)求求换路后的初始条件路后的初始条件电感感电流不跳流不跳变：：电容容电压不跳不跳变：：iv)初始条件代入完全解，列写方程初始条件代入完全解，列写方程组求出待定系数求出待定系数故：故： (t>0)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系[例例6]：已知：：已知：，，，，求完全响求完全响应。

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系i)特征方程：特征方程：ii)齐次解形式：次解形式：i) t>0时自由自由项=16iii)代入方程左代入方程左边解得：解得：B=8/5解：解：①①由特征根写出齐次解形式由特征根写出齐次解形式②②求特解求特解特征根：特征根：ii)0不是特征根，设特解为：不是特征根，设特解为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系③③求完全解中的求完全解中的齐次解待定系数次解待定系数i)写出完全解形式：写出完全解形式：ii)冲激函数匹配法求跳冲激函数匹配法求跳变值：根据：根据t=0时刻微分方程左刻微分方程左右两端的右两端的 及其各及其各阶导数数应该平衡相等平衡相等系统用微分方程表示时，系统的系统用微分方程表示时，系统的0-状态到状态到0+状态有无跳变决定于微分方程的右端自由项状态有无跳变决定于微分方程的右端自由项是否包含是否包含 及其高阶导数。

有则跳变及其高阶导数有则跳变信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系设< 的含的含义?>代入方程左端，令左右两代入方程左端，令左右两端的奇异函数平衡，得端的奇异函数平衡，得表示表示0-到到0+相相对跳跳变函数函数考考虑换路路时情况，即情况，即t=0时刻刻e(t)有有2 u(t) 变化，得化，得在在信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系iii)计算初始条件算初始条件iv)初始条件代入完全解，列写方程初始条件代入完全解，列写方程组求出待定系数求出待定系数故：故： (t>0)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系[例例7]：目：目测法求跳法求跳变值 ①①②②信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系①①右右边，，为此此必必须出出现即即在在0处有有1的跳的跳变。

假假设有跳有跳变，，则有冲激，有冲激，出出现冲激偶，冲激偶，②②右右边，，为此此必必须出出现即即在在0处有有1的跳的跳变假设有跳有跳变，，则有冲激，有冲激，出出现冲激偶，左右不能平衡，故冲激偶，左右不能平衡，故没有跳没有跳变解：解：左右不能平衡，故左右不能平衡，故没有跳变没有跳变信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统—signals and systems—signals and systems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系作业：作业：2-1(a)(b)(c)，，2-5Reviewü微分方程的建立微分方程的建立LTI系统系统——线性常系数微分方程线性常系数微分方程ü微分方程的求解（经典方法）微分方程的求解（经典方法） 完全解＝齐次解＋特解完全解＝齐次解＋特解 齐次解中系数的确定齐次解中系数的确定—初始条件初始条件 。