二元一次不定方程解法新论.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑二元一次不定方程解法新论 2. 二元一次不定方程解法新论 二元一次不定方程的一般形式是ax + by = c，ab≠0因不定方程有无穷多解，而实际问题中常要考虑它的整数解或正整数解本文中展现的a、b、c、d、……，x、y、z、t、……等字母都表示整数，Z表示整数集合，（a，b）与[a，b]分别表示a和b的最大公约数和最小公倍数 定理一：二元一次不定方程ax + by = c有整数解?（a，b）| c 其证明见中等师范学校《代数与初等函数》其次册p81—83其他谈及二元一次不定方程的书籍都有证明，这里从略 利用定理一，可以判断所给的二元一次不定方程ax + by = c是否有整数解在有解的处境下，我们不妨假定a、b、c都是正整数，且（a，b）=1 定理二：若正整数a、b、c、d得志：ab = cd且（b，c）=1，那么确定有：??a?ct (t?Z) ?d?bt证明：∵（b，c）=1，故存在整数m与n使得：mb + nc = 1成立，从而： ?mba?nca?a?mcd?nca?a?c(md?na)?a ??????mbd?ncd?dmbd?nab?db(md?na)?d????a?ct令md + na = t，那么?(t?Z)。

?d?bt我们可以把二元一次不定方程恒等变形为ab = cd的形式，再应用上述定理解之 若a、b、c是正整数，（a，b）=1，求二元一次不定方程ax + by = c的全体整数解 解：对ax + by = c ……（1），不妨设a ≥ b， ?c?y?atI) 当b = 1时，ax + y = c为：ax = c ?y，因（a，1）=1，由定理二有： (t?Z)x?t??x?t故ax + y = c的全体整数解为?(t?Z) ?y?c?atII) 当a > b > 1时，设a = bq + r, 0 0, 0?a?2,0?b?4,0?c?6,?m?2那么所求正整数 N = 70a + 21b + 15c ?105m (m?2,N?0) ?x?a1y1?c定理三：?的全体整数解为：x?[a1,a2]t?c(t?Z) x?ay?c?22证明：因a1y1?c?a2y2?c，?a1y1?a2y2 ?a1a2aay1?y2,但（1，2）=1，由定理二有： (a1,a2)(a1,a2)(a1,a2)(a1,a2)a2?y??1(a,a)ta1a2?12(t?Z)?x?t?c?[a1,a2]t?c(t?Z)。

?(a1,a2)?y?a1t2?(a1,a2)?更加地，当(a1,a2)?1时，x?a1?a2t?c(t?Z) 推论：若x?aiyi?（ci?1、2、???、n），那么x?[a1,a2,???,an]t?c(t?Z)更加地，当ai(i?1、2、???、n)两两互质时，x?(?ai)t?c(t?Z)i?1n证明与定理三类似，从略 利用定理三及推论求某些二元一次不定方程组的解是分外简便的 例6 一支总人数是5的倍数且不少于1000的游行队伍，若按每横排4人编队，结果 差3人；若按每横排3人编队，结果差2人；若按每横排2人编队，结果差1人求这支游行队伍的人数最少是多少？（1978年武汉市数学竞赛题） ?N??N?解：有题意有?N?N???N?5x1?????????①?4x2?1??????②?3x3?1??????③ ?2x4?1??????④?1000????????⑤其中N、x1、x2、x3、x4都是正整数对②、③、④应用定理三有： N = [4，3，2]x + 1 = 12x + 1（x∈Z） 再由①有：12x?1?5x1?5x1?12x?1 ?1?2x?5t5(x1?2x)?1?2x,又(5,1)?1??(t?Z)。

x?2x?t?1由1?2x?5t?5t?2x?1?2(2t?x)?1?t而(2,1)?1， ?1?t?2m?t?1?2m??(m?Z)??(m?Z)2t?x?mx?2?5m??那么N?12(2?5m)?1?25?60m(m?Z) 故符合条件⑤的最小正整数N是1045（m = ?17） 答：这支游行队伍的人数最少是1045 本文发表于陕西师范大学数学系主办的《中学数学教学参考》1984年第4期p41~44，发表时署名：安康师范学校王凯（笔名）、铜川市红土中学辛苦 — 3 —。