信号与线性系统管致中2-3.ppt

系统响应的划分l自然响应（自由响应）与受迫响应（强迫响应）l根据数学上对系统微分方程的求解过程划分l零输入响应与零状态响应l根据引起响应的不同原因划分l暂态响应（瞬态响应）与稳态响应l输入是阶跃信号或有始周期信号时可作如此划分§3 零输入响应与零状态响应1自然响应与受迫响应l按照数学上对系统微分方程的求解过程，将完全响应 分解为齐次解和特解两部分，分别对应系统的自由响应 与受迫响应 l自然响应（自由响应）l也称固有响应，指无输入激励时系统的响应l对应于齐次解（只含自然频率的项）l其函数形式由系统本身特性决定，与外加激励 形式无关；系数值与输入信号有关l受迫响应（强迫响应）l有输入激励时系统的响应l对应于特解（只含外加激励频率项） l形式由微分方程的自由项或外加激励信号决定 2零输入响应与零状态响应l一个连续系统的完全响应，可以根据引起响应的不同原因，将它分解为零输入响应和零状态响应两部分l零输入响应l无输入激励信号（激励为零）时仅由初始条件（起始时刻系统储能）引起的响应 l与零状态响应l不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），仅由外加激励信号引起的响应3瞬态响应与稳态响应l如果输入是阶跃信号或有始周期信号，那么也可将系统响应分解为暂态响应和稳态响应。

l暂态响应（瞬态响应）l激励信号接入一段时间内完全响应中暂时存在的分量l随时间增长而它将衰减为零 l稳态响应l完全响应中减去暂态响应分量后剩余的随时间增长继续存在且趋于稳定的分量l通常也由阶跃信号或周期信号组成4响应与初始状态零输入响应零状态响应外加激励源 引起的响应系统的 全响应起始状态等效激励源 （储能元件—电容电感 等效源）引起的响应=+0 0－－状态状态用用0 0+ +状态，状态，0 0－－状态为零状态为零5响应与初始状态l经典法求全响应的积分常数——用0＋状态初始值l求系统零输入响应——用0－状态初始值l求系统零状态响应——用0＋状态初始值，此时的零状态指0－状态为零6零输入响应与零状态响应的求解l零输入响应的求法——求齐次解l直接解方程，再利用初始条件确定待定系数 为特征根由初始值确定l零状态响应的求法——求非齐次解l直接求解法——求非齐次方程，注意使用正确 的零状态初始值l叠加积分法——冲激响应或阶跃响应l变换域法为特征根由零状态初始值确定7零输入响应、零状态响应 与自然响应、受迫响应的关系l系统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应，也 可分解为零输入响应和零状态响应，它们的关系为： 自然响应 受迫响应零输入响应零状态响应 自然响应=零输入响应+零状态响应中的齐次解 • 自然响应的Ai由初始状态和激励共同决定； • 零输入响应的Azii由初始状态决定。

8例解：(1)零输入响应，特征根为：代入初始值，得描述某线性非时变系统的方程为描述某线性非时变系统的方程为试求：当试求：当 时的时的零零输入响应输入响应 和零状态响应和零状态响应9例解：(2)零状态响应，特解求法同前：描述某线性非时变系统的方程为描述某线性非时变系统的方程为试求：当试求：当 时的时的零零输入响应输入响应 和零状态响应和零状态响应将初始条件（零状态）代入上式，得：对于零状态响应,在t=0-时刻激励尚未接入，故应有y(0-)=010例 已知系统的转移算子 ，初始条件为, 试求系统的零输入响应 rzi(t)并画出草图解：令 得：代入初值得：11例已知系统的转移算子已知系统的转移算子 ，初始条件为，初始条件为, , 试求系统的零输入响应试求系统的零输入响应 r rzi zi(t (t) )。

并画出草图并画出草图解：令解：令 得：得：代入初值得：代入初值得：12课堂练习题2-1 已知系统的微分方程为 ，且初始条件为y(0)=3和y’(0)=4求系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应及全响应并弄清楚几种响应之间的关系解：(1)求齐次解，特征根为：13这里，B是待定系数代入方程后有：(2)求特解(强迫响应)：(3)全解的通解为：将初始条件代入上式，得：得全解(全响应)为：得齐次解 (自由响应)为：14(4)零输入响应，特征根为：代入初始值，得15(5)零状态响应，特解求法同前：将初始条件（零状态）代入上式，得：(6)全解：自然响应 受迫响应零输入响应 零状态响应16小结l系统响应l自由响应和受迫响应——经典解方程法l零输入响应和零状态响应l零输入响应——经典解齐次方程法l零状态响应§经典解非齐次方程法§叠加积分法：通过冲激响应或阶跃响应§变换域法17作业lP78 2.4 2.6 2.4(1) 2.6（1）做在作业本上（要求交）18关于初始状态l0－状态和 0＋状态l0－状态l称为零输入时的初始状态。

l时间t由负值趋于零的瞬时，即激励施加前一瞬 的初始状态l由系统的储能产生，即该状态指的是系统中储 能元件的储能情况l0＋状态l称为加入输入后的初始状态l时间t由正值趋于零的瞬时，即激励施加后一瞬 的初始状态l受系统的储能和外加激励信号双方的影响l“初始状态”或“初始条件”——一般指0－时的状态或条 件19换路定则• 在电路分析中，为确定初始条件，常常利用系统内部储能的连续性——电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性•即，一般情况下，换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变，若换路发生在t=t0时刻，则有20• 当有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于电容或有冲激电 压（或阶跃电流）强迫作用于电感，0－到0＋状态就会发生跳变——产生冲激或阶跃函数的信号源为理想化的假定具有无限功率的信号源，可在一瞬间改变系统的储能状态，使电容电压或电感电流发生突变 • 当系统用微分方程表示时，系统从0－到0＋状态有否跳变取决于微分方程右端自由项是否包含δ(t)及其各阶导数项w 包含有(t)及其各阶导数——相应的0－状态到0＋状态发生了跳变• 在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换即可以将原始储能看作是激励源。

初始状态的跳变21一.冲激响应的定义定义：当激励为单位冲激函数 时，系统的零状态响应称 为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示零状态§4 冲激响应和阶跃响应冲激响应的一般形式：22冲激响应的求法l直接求解法l间接求解法l转移算子法l拉普拉斯变换23直接求解法• 确定冲激响应的形式； • 将冲激响应代入原方程； • 用待定系数法确定其系数冲激响应冲激响应 的形式？的形式？24响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示 激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)令 e(t)=(t) 则 r(t)=h(t)25设特征根为简单根（无重根的单根）由于 及其导数在 时都为零，因而方程式右 端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与 齐次解的形式相同 ②与n, m相对大小有关 ①与特征根有关26当 n>m 时：当 n=m 时：当 n 0时，因冲激响应的形式为：特征方程：特征根：28列系统微分方程：求右图RC电路的冲激响应条件： ）冲激 在 时转为系统的储能（由 体现）， t >0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统 的冲激响应。

例29电容器的电流在 t =0时有一冲激， 这就是电容电压突 变的原因 30间接求解法• 确定单输入t的冲激响应h0(t)；• 利用线性时不变特性求h(t) 31间接求解法对于 n 阶系统： 其响应记为 h0(t)，则：含有(t)各项为有限值由于系统为零状态的因果系统，在冲激信号未作用前没有响应， 可得：故得初始值：由初始值求得h0(t)，再根据线性系统非时变特性：从而可通过h0(t)的线性组合求出冲激响应h(t)有界函数，在无穷 小区间积分为0含(t)项 积分不为032解：冲激响应求系统的冲激响应： 例例————间接求解法间接求解法则t单独作用时冲激响应的初始值为：故，系统的冲激响应为：故，系统的冲激响应为：代入上式有：代入上式有：33转移算子法• 确定系统的转移算子H(p)； • 用部分分式法展开(有理化后)•如果m≥n, 用长除法将H(p) 化为真分式；• 根据H(p)部分分式的各项，写出冲激响应 h(t)34转移算子法l对于 n 阶系统(无重根情况)：当 n>m 时：当 nm 时：再按部分分式展开35转移算子法ε(t)βtε(t)βtε(t)ε(t)36例——转移算子法解：求系统的冲激响应。

转移算子为所以冲激响应为37例例————转移算子法转移算子法已知描述系统的传输算子为：求系统单位冲激响应h(t)，答：38求e(t)=(t)时的零状态h(t)已知描述某系统的微分方程为答：例例————转移算子法转移算子法39例 方法一：用直接求解法 解：先求出方程的特征根： 冲激响应的形式为： 对上式求导，得：将上述三个等式及 代入原微分方程，经整理比较方程两边系数，解得： 故，系统的冲激响应为：已知系统的微分方程为试求其冲激响应h(t)40例 方法二：用间接求解法 解：先求出方程的特征根：解：先求出方程的特征根： 设设t t 单独作用时的单独作用时的冲激响应：冲激响应：故，系统的冲激响应为：故，系统的冲激响应为：其初始值为：其初始值为：代入上式有：代入上式有：解得：解得：已知系统的微分方程为试求其冲激响应h(t)41例 方法三：用转移算子法 解：先求出方程的特征根：解：先求出方程的特征根：转移算子为转移算子为故，系统的冲激响应为故，系统的冲激响应为已知系统的微分方程为试求其冲激响应h(t)。

42小结• 冲激响应的定义• 冲激响应的求法l直接求解法 l间接求解法l转移算子法l拉普拉斯变换43阶跃响应输入信号为单位阶跃函数时系统的零状态响应，称为阶跃响应用 r(t) 表示系统的输入 ，其响应为 系统方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项H44阶跃响应的求法一——直接法l阶跃响应的形式对于 n 阶系统：特解为 ，齐次解的确定与冲激响应类似当 n