5-5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群定义定义 5-5.1：：如果群中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群例题 1： 设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵的集合，矩阵乘法运算作为定义在集合G上的二元运算，则是一个不可交换群 解：解： 任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个非奇矩阵，所以运算 是封闭的 矩阵乘法运算是可结合的n阶单位阵E是G中的幺元任意一个非奇阵A存在着唯一的逆阵，使A A-1=A-1 A=E但矩阵乘法是不可交换的，因此，是一个不可交换群 定理定理5-5.1: 设是一个群，是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,b∈G,有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)证明: 充分性 设对任意a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 因为 a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b) =(a*b)*(a*b) =a*(b*a)*b 所以 a-1*(a*(a*b)*b)*b-1 =a-1*(a*(b*a)*b)* b-1 即得 a*b=b*a 因此，群是阿贝尔群。
必要性设是阿贝尔群，则对任意的a,b∈G 有 a*b=b*a因此 (a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b =a*(b*a)*b =(a*b)*(a*b) 定义定义5-5.2：： 设为群，若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元例如：60°就是群<{0°，60°，120°，180°，240°，300°}，★>的生成元，因此，该群是循环群 定理定理5-5.2：：任何一个循环群必定是阿贝尔群证明： 设是一个循环群，它的生成元是a, 那么，对于任意的x,y∈G,必有r,s∈Z， 使得x=ar 和 y=as 而且 x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x 因此， 是一个阿贝尔群对于有限循环群，有下面的定理 定理定理5-5.3：： 设是一个由元素a∈G生成的有限循环群如果G的阶数是n,即|G|=n,则an=e且G={a，a2，a3，…，an-1,an=e}，其中，e是中的幺元，n是使an=e的最小正整数（称n为元素a的阶）。
证明： 假设对于某个正数m，m是一个循环群，所以G中的任何元素都能写为ak(k∈Z)，而且k=mq+r其中，q是某个整数，0≤r
所以是一个群在这个群中，由于 2, 3, 4, 以及 2 , 2, 4 故群是由γ或δ生成的，因此是一个循环群 从本例可以看到：一个循环群的生成元可以不是唯一的 作业 5-5P200 (1) (4) 5-7 陪集与拉格朗日定理 陪集与拉格朗日定理定义定义5-7.1：：设是一个群，A，B∈P(G)且A≠，B≠，记 AB={a*b|a∈A,b∈B} 和 A-1 ={a-1|a ∈A }， 分别称为A，B的积和A的逆定义定义5-7.2：：设是群的一个子群a∈G，则集合{a}H 称为由a所确定的H在G中的左陪集， 简称为H关于a的左陪集 ，记为aH 。
元素a称为陪集aH 的代表元素H{a}）（右陪集）（右陪集）(Ha)(Ha) 例1：是群的子群，则 {0} IE= IE , {2} IE= IE , {-2} IE= IE , …… {1} IE= Io , {-1} IE= Io , {3} IE= Io ，……所以，{IE , Io} 是对于I(整数集)的一个划分 定理定理5-7.1 （拉格朗日定理）（拉格朗日定理）设是群的一个子群，那么(a)R={|a∈G,b∈G且a-1*b∈H}是G中的一个等价关系对于a∈G,若记[a]R={x|x∈G且∈R}，则[a]R=aH(b)如果G是有限群，|G|=n,|H|=m,则m|n证明：(a)对于任一a∈G, 必有a-1∈G, 使a-1*a=e∈H, 所以∈R若∈R,则a-1 *b∈H，因为H是G的子群， 故 (a-1*b)-1=b-1*a∈H，所以, ∈R 若∈R, ∈R, 则a-1*b∈H, b-1*c∈H, 故a-1*b*b-1*c=a-1*c∈H, 所以∈R。
这就证明了R是G中 的一个等价关系 对于a∈G,我们有：b∈[a]R当且仅当∈R,即当且仅当a-1*b∈H,而a-1*b∈H就是b∈aH 因此，[a]R=aHb)由于R是G中的一个等价关系，所以必定将G划分成不同的等价类[a1]R,[a2]R,…，[ak]R，使得 G = 又因，H中任意两个不同的元素h1,h2,a∈G,必有a*h1≠a*h2,所以|aiH|=|H|=m,i=1,2,…，k因此 推论推论1：： 任何质数阶的群不可能有非平凡子群这是因为，如果有非平凡子群，那么该子群的阶必定是原来群的阶的一个因子，这就与原来群的阶是质数相矛盾 推论推论2：： 设是n阶有限群，那么对于任意的a∈G,a的阶必是n的因子且必有an =e,这里e是群中的幺元如果n为质数，则必是循环群 这是因为，由G中的任意元素a生成的循环群 H={ai |i∈I,a∈G}， 一定是G的一个子群如果H的阶是m，那么由定理5-5.3可知am=e, 即a的阶等于m由拉格朗日定理必有n=mk, k∈I,因此，a的阶m是n的因子，且有an =amk=(am)k =ek =e 。
因为质数阶群只有平凡子群，所以，质数阶群必定是循环群必须注意，群的阶与元素的阶这两个概念的不同必须注意，群的阶与元素的阶这两个概念的不同 例题1：设K={e,a,b,c},在K上定义二元运算*如表5-7.1所示表 5-7.1 * e a b ceabce a b ca e c bb c e ac b a e证明 是一个群，但不是循环群 证明：证明：由表5-7.1可知，运算*是封闭的和可结合的幺元是e，每个元素的逆元是自身，所以，是群因为a,b,c都是二阶元，故不是循环群我们称为Klein四元群Klein四元群的特点为： 群的阶数是4，除e以外的三个元素a,b,c都是二阶元，且a*b=b*a=c, b*c=c*b=a, a*c=c*a=b 例题例题2：：任何一个四阶群只能是四阶循环群或者Klein四元群证明：证明：设四阶群为<{e,a,b,c},*>，其中e是幺元当四阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群当四阶群不含有四阶元素时，则由推论2可知，除幺元e外，a,b,c的阶一定都是2a*b不可能等于a,b或e,否则将导致b=e,a=c或a=b的矛盾，所以a*b=c。
同样地有b*a=c以及a*c=c*a=b,b*c=c*b=a因此，这个群是Klein四元群 作业 5-7P211 （2） （5） 。
