2003数三真题标准答案及解析.pdf

1 -2003200320032003 年考研数学（三）真题 一、填空题年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（（1 1 1 1））设, 0, 0, 0,1cos)(=≠⎪⎩⎪⎨⎧ =xx xxxf若若λ 其导函数在 x=0 处连续，则λ的取值范围是_____.（（2 2 2 2））已知曲线bxaxy+−=233与 x 轴相切，则2b可以通过 a 表示为=2b________.（（3 3 3 3）） 设 a>0，,xaxgxf其他若, 10 , 0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而 D 表示全平面， 则∫∫−=DdxdyxygxfI)()(=_______.（（4 4 4 4））设 n 维向量0,), 0 ,, 0 ,(+−+==bxbxxxaxAXXxxxfT，中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12. (1) 求 a,b 的值；梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q ：8 132 1659梦飞翔考研工作室 ：8 13216 59- 4 -(2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、 （本题满分十一、 （本题满分 13131313 分）分） 设随机变量 X 的概率密度为;],8 , 1 [, 0, 31 )(32 其他若 ∈⎪⎩⎪⎨⎧ =x xxfF(x)是 X 的分布函数. 求随机变量 Y=F(X)的分布函数. 十二、 （本题满分十二、 （本题满分 13131313 分）分） 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛ 7 . 03 . 0 21~X，而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q ：8 132 1659梦飞翔考研工作室 ：8 13216 59- 5 -2003200320032003 年考研数学（三）真题解析 一、填空题年考研数学（三）真题解析 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（（1 1 1 1））设, 0, 0, 0,1cos)(=≠⎪⎩⎪⎨⎧ =xx xxxf若若λ 其导函数在 x=0 处连续，则λ的取值范围是2>λ.【分析分析】 当≠x0 可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导.【详解详解】当1>λ时，有, 0, 0, 0,1sin1cos)(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+=′−−xx xxxxxf若若λλλ显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0fxf x′==′ →，即其导函数在 x=0 处连续.（（2 2 2 2））已知曲线bxaxy+−=233与 x 轴相切，则2b可以通过 a 表示为=2b64a.【分析分析】 曲线在切点的斜率为 0，即0=′y，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b与 a 的关系.【详解详解】由题设，在切点处有03322=−=′axy，有.22 0ax=又在此点 y 坐标为 0，于是有030023 0=+−=bxax,故.44)3(64222 022 02aaaxaxb=⋅=−=【评注评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.（（3 3 3 3）） 设 a>0，,xaxgxf其他若, 10 , 0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而 D 表示全平面， 则∫∫−=DdxdyxygxfI)()(=2a.【分析分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10 , 10≤−≤≤≤xyx时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解详解】∫∫−=DdxdyxygxfI)()(=dxdyaxyx∫∫ ≤−≤≤≤10 , 102=.]) 1[(21021012adxxxadydxaxx=−+=∫∫∫+【评注评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的 区域的公共部分上积分即可.（（4 4 4 4））设 n 维向量0,), 0 ,, 0 ,(+−+==bxbxxxaxAXXxxxfT，中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12. (3) 求 a,b 的值； (4) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析分析】 特征值之和为 A 的主对角线上元素之和，特征值之积为 A 的行列式，由此可求出 a,b 的值； 进一步求出 A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要） ，然后将特征向量单位 化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵. 【详解详解】 （1）二次型 f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=bba A设 A 的特征值为).3 , 2 , 1( =iiλ由题设，有1)2(2321=−++=++aλλλ，梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q ：8 132 1659梦飞翔考研工作室 ：8 13216 59- 17 -.12242002002 321−=−−=−=babba λλλ解得 a=1,b= -2. (2) 由矩阵 A 的特征多项式)3()2(2020202012+−=+−−−− =−λλλλλ λAE，得 A 的特征值. 3, 2321−===λλλ对于, 221==λλ解齐次线性方程组0)2(=−xAE，得其基础解系T) 1 , 0 , 2(1=ξ，.)0 , 1 , 0(2T=ξ对于33−=λ，解齐次线性方程组0)3(=−−xAE，得基础解系.)2, 0 , 1 (3T−=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T)51, 0 ,52(1=η，T)0 , 1 , 0(2=η，.)52, 0 ,51(3T−=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−==5205101051052321ηηηQ，则 Q 为正交矩阵. 在正交变换 X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=300020002 AT，且二次型的标准形为.3222 32 22 1yyyf−+=【评注评注】 本题求 a,b，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定： 二次型 f 的矩阵 A 对应特征多项式为梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q ：8 132 1659梦飞翔考研工作室 ：8 13216 59- 18 -)].2()2()[2(20020022baabba AE+−−−−=+−−−− =−λλλλλλ λ设 A 的特征值为321,,λλλ，则).2(, 2, 22 32321baa+−=−=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=−+=++aλλλ，.12)2(22 321−=+−=baλλλ解得 a=1,b=2. 十一、 （本题满分十一、 （本题满分 13131313 分）分） 设随机变量 X 的概率密度为;],8 , 1 [, 0, 31 )(32 其他若 ∈⎪⎩⎪⎨⎧ =x xxfF(x)是 X 的分布函数. 求随机变量 Y=F(X)的分布函数. 【分析分析】 先求出分布函数 F(x) 的具体形式，从而可确定 Y=F(X) ,然后按定义求 Y 的分布函数即可.注意应先确定 Y=F(X)的值域范围) 1)(0(≤≤XF，再对 y 分段讨论.【详解详解】 易见，当 x8 时，F(x)=1.对于]8 , 1 [∈x，有. 131)(3132−==∫xdt txFx设 G(y)是随机变量 Y=F(X)的分布函数. 显然，当0