常用的巧算和速算方法.doc

    常用的巧算和速算方法【顺逆相加】用“顺逆相加〞算式可求出假设干个连续数的和例如著名的大数学家高斯〔德国〕小时候就做过的“百数求和〞题，可以计算为1 + 2 + …… + 99 + 100所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100=101×100÷2=5050 “3+5+7+………＋97+99=？3+5＋7＋……＋97+99=〔99＋3〕×49÷2= 2499这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《丘建算经》丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织〞这一名题：“今有女子不善织，日减功，迟初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫问织几何？〞题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等她第一天织了5 尺布，最后一天织了1 尺，一共织了30 天问她一共织了多少布？丘建在《算经》上给出的解法是：“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得〞“答曰：二匹一丈〞这一解法，用现代的算式表达，就是1 匹=4 丈，1 丈=10 尺，90 尺=9 丈=2 匹1 丈〔答略〕丘建这一解法的思路，据推测为：如果把这妇女从第一天直到第30 天所织的布都加起来，算式就是5＋…………＋1在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个一样的数，而这一递减的数不会是个整数。

假设把这个式子反过来，那么算式便是1+………………＋5此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个一样的数同样，这一递增的一样的数，也不是一个整数假假设把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等〞这一特点，那么，就会出现下面的式子：所以，加得的结果是6×30=180〔尺〕但这妇女用30 天织的布没有180 尺，而只有180 尺布的一半所以，这妇女30 天织的布是180÷2=90〔尺〕可见，这种解法确实是简单、巧妙和饶有趣味的分组计算】一些看似很难计算的题目，采用“分组计算〞的方法，往往可以使它很快地解答出来例如：求1 到10 亿这10 亿个自然数的数字之和这道题是求“10 亿个自然数的数字之和〞，而不是“10 亿个自然数之和〞什么是“数字之和〞？例如，求1 到12 这12 个自然数的数字之和，算式是1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l显然，10 亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间〔很多年都难于算出结果〕的怎么办呢？我们不妨在这10 亿个自然数的前面添上一个“0〞，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。

然后，将它们分组：0 和999，999，999；1 和999，999，998；2 和999，999，997；3 和999，999，996；4 和999，999，995；5 和999，999， 994；……… ………依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000 以外，其他的自然数与添上的0 共10 亿个数，共可以分为5 亿组，各组数字之和都是81，如0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=811+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81………………最后的一个数1，000，000，000 不成对，它的数字之和是1所以，此题的计算结果是〔81×500，000，000〕＋1=40，500，000，000＋1=40，500，000，001【由小推大】“由小推大〞是一种数学思维方法，也是一种速算、巧算技巧遇到有些题数目多，关系复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果例如：〔1〕计算下面方阵中所有的数的和这是个“100×100〞的大方阵，数目很多，关系较为复杂不妨先化大为小，再由小推大先观察“5×5〞的方阵，如下列图〔图4.1〕所示容易看到，对角线上五个“5〞之和为25。

这时，如果将对角线下面的局部〔右下局部〕用剪刀剪开，如图4.2 那样拼接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25所以，“5×5〞方阵的所有数之和为25×5=125，即5×3=125于是，很容易推出大的数阵“100×100〞的方阵所有数之和为100×3=1，000，000〔2〕把自然数中的偶数，像图4.3 那样排成五列最左边的叫第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列那么2002 出现在哪一列：因为从2 到2002，共有偶数2002÷2=1001〔个〕从前到后，是每8 个偶数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在第四、三、二、一列〔偶数都是按由小到大的顺序〕所以，由1001÷8=125…………1，可知这1001 个偶数可以分为125 组，还余1 个故2002 应排在第二列凑整巧算】用“凑整方法〞巧算，常常能使计算变得比拟简便、快速例如〔1〕99.9+11.1=〔90＋10〕+〔9+1〕＋〔0.9+0.1〕=111〔2〕9＋97＋998＋6=〔9+1〕＋〔97＋3〕＋〔998＋2〕=10＋100＋1000=1110〔3〕125＋125＋125＋125＋120＋125＋125＋125=155＋125＋125＋125＋〔120+5〕＋125＋125+125-5=125×8-5=1000-5=995 【恒等变形】恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。

它利用我们学过的知识，去进展有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答例如〔1〕1832＋68=〔1832-32〕＋〔68+32〕=1800＋100=1900〔2〕359.7-9.9=〔359.7+0.1〕-〔9.9+O.1〕=359.8-10=349.8【拆数加减】在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大简化运算1） 拆成两个分数相减例如又如【同分子分数加减】同分子分数的加减法，有以下的计算规律：分子一样，分母互质的两个分数相加〔减〕时，它们的结果是用原分母的积作分母，用原分母的和〔或差〕乘以这一样的分子所得的积作分子分子一样，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约〔最简〕分数由上面的规律还可以推出，当分子都是1，分母是连续的两个自然数时，这两个分数的差就是这两个分数的积，根据这一关系，我们也可以简化运算过程例如【先借后还】“先借后还〞是一条重要的数学解题思想和解题技巧例如做这道题，按先通分后相加的一般方法，势必影响解题速度现在从“凑整〞着眼，采用“先借后还〞的方法，很快就将题目解答出来了。

两分数相除】有些分数相除，可以采用以下的巧算方法：〔1〕分子、分母分别相除在个别情况下，分数除法可沿用整数除法的做法：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母不过，这只有在被除数的分子、分母，分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下，计算才比拟简便例如小数的速算与巧算——凑整【知识精要】凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法用的时候主要看末位但是小数计算中“小数点〞一定要对齐例题精讲】<一>凑整法例1、 计算5.6+2.38+4.4+0.62分析】5.6 与4.4 刚好凑成10，2.38 与0.62 刚好凑成3，这样先凑整运算起来会更加简便解答】原式=〔5.6+4.4〕+〔2.38+0.62〕=10+3=13【评注】凑整，特别是“凑十〞、“凑百〞等，是加减法速算的重要方法例2、计算：1.999+19.99+199.9+1999分析】因为小数计算起来容易出错刚好1999 接近整千数2000，其余各加数看做与它接近的容易计算的整数再把多加的那局部减去解答】 1.999+19.99+199.9+1999=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1=2222-1.111=2220.889【评注】所谓的凑整，就是两个或三个数结合相加，刚好凑成整十整百，我们也可以引申为读整法，譬如此题。

1.999〞刚好与“2〞相差0.001，因此我们就可以先把它读成“2〞来进展计算但是，一定要记住刚刚“多加的〞要“减掉〞多减的〞要“加上〞！ / 。