数学思想在求解几何图形问题中的应用-.pdf

1 / 7 数学思想在求解几何图形问题中的应用 初学几何，同学们会遇到一些求线段长或角度数的问题，在解答这些问题 时要用到各种数学思想方法，主要有分类讨论思想、整体思想、转化思想、数 形结合思想、方程思想等，下面举例说明. 一、分类讨论思想 所谓分类讨论，就是当要求解的问题包含两种或两种以上的答案时，需要 根据不同的情况进行分类解答. 例 1 已知点 O 在直线 AB上，且线段 OA的长度为 4cm，线段 OB的长度为 6cm，E、F分别是线段 0A、OB的中点，则线段 EF的长为 _________cm. 解析：要求线段EF的长，比较直观的方法就是画出图形，借助图形解决问 题.由于点 O 在直线 AB上，可能存在两种情况：一是点O段 AB上（如图 1）;二是点 O段 AB 外（如图 2）.当点 O 段 AB上时，EF=5cm ，当点 O 段 AB外时， EF=1cm. 故答案为 1cm 或 5cm. 图 1 图 2 例 2 已知AOB=100 ，BOC=60 ，OM 平分AOB，ON平分BOC ，求 MON 的度数. 分析：本题没有图，作图时应考虑OC落在AOB的内部和外部两种情况 . 解：（ 1）如图 3，当 OC落在AOB的内部时， 图 3 OM 平分AOB ，ON 平分BOC ， AOM= AOB= 100 =50 ， BON= BOC= 60 =30 ， MON=AOB- AOM-BON 2 / 7 =100 -50 -30 =20 ; （2）如图 4，当 OC落在AOB的外部时， OM 平分AOB ，ON 平分BOC ， BOM= AOB=50 ，图 4 BON= BOC=30 ， MON=BOM+BON=50 +30 =80 . 点评：当图形之间的位置关系不明确时，往往要进行分类讨论，以免因考 虑不周而漏解 . 二、整体思想 整体思想就是从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察、分 析、探究问题 .借助这种思想解题可以化难为易，化繁为简. 例 3 如图 5，OC 、OE分别是AOD、BOD的平分线，如果 AOB=130 ， 求COE的度数 . 分析：观察图形可知 COE= COD+ DOE ，而COD 、DOE的大小不 定，所以只能设法求出 COD+ DOE. 根据已知 OC 、OE分别是 AOD、BOD 的平分线，则有 COD= AOD，DOE= BOD ，这样COD+ DOE= （AOD+ BOD ），借助 AOD+ BOD= AOB ，这一整体代换可得到 COD+ DOE= AOB=65 . 解：COE= COD + DOE= （AOD+ BOD ） 图 5 = AOB= 130=65 . 例 4 如图 6，点 B、C段 AD上，M 是 AB的中点， N是 CD的中点，若 MN=a，BC=b ，则 AD的长是 ________. 图 6 3 / 7 解析： AM=MB，CN=ND. AM+ND=MB+CN. 又MB+CN=MN-BC=a-b. AM+ND=a-b. AD=AM+MN+ND=a-b+a=2a-b. 点评：整体代换是一种重要的解题策略，在解决问题时，当单个对象无法 求出时，可考虑将几个单个对象作为一个整体来考虑，这就是整体思想. 三、转化思想 转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的问题转化为已知的、熟悉的、简 单的问题来解决的一种思想方法. 例 5 如图 7，AOB=90 ，ON是AOC的平分线， OM 是BOC的平分线， 求MON 的度数 . 分析：观察图形知， MON=NOC- MOC，但我们并不知道 NOC 、 MOC的度数，为此，需要根据ON是AOC的平分线、 OM 是BOC的平分 线这两个已知条件进行转化，找到MON 与已知 AOB之间的关系 .图 7 解：NOC= AOC ，MOC= BOC ， MON=NOC- MOC= AOC- BOC= （AOC- BOC ） =AOB= 90=45 . 例 6 如图 8，一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点， 已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为 6cm（取 3），则蚂蚁所走过的最短路径 是________. 图 8 分析：要求最短路径，要把圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短，利 用勾股定理即可求解 . 4 / 7 解：将圆柱侧面展开，展开图如图9 所示，点 A、B的最短距离为线段AB 的长.在 RT ABC中，ACB=90 ，BC=6cm ，AC为底面半圆弧长， AC=1.5 = 4.5cm， AB= =7.5cm. 故答案为 7.5cm.图 9 点评：研究立体图形中两点之间最短路经问题时，通 常把立体图形展开成平面图形，转化为平面图形两点间的距离问题，平面内两 点之间线段最短 . 四、数形结合思想 几何图形中常常蕴涵着角之间的和、差、倍、分的关系，利用数形结合思 想，将代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使数量关系和空间形 成结合起来，使问题清晰化、直观化、具体化. 例 7 如图 10，直线 AB、CD相交于点 O，EOB=90 ，OF平分COE ， 1=20 ，求AOF的度数 . 图 10 解：观察图形可知， 1 与3 是对顶角， 3=1=20 ，EOB=90 ， 可得2=EOB- 1=90 -20 =70 ， 又COD是平角， COD=180 ， 可得COE= COD- 2=180 -70 =110 ， 又OF平分COE ， COF= COE= 110 =55 ， AOF= COF- 3=55 -20 =35 . 例 8 往返于 A、B两个城市的客车，中途有三个停靠点.（1）该客车有多少 种不同的票价？ 5 / 7 （2）该客车上要准备多少种车票？ 解：根据题意画图11 所示. （1）图 11 中的线段有 AC、AD、AE 、AB、CD 、CE 、CB、DE 、DB、EB ，共 有 10 条，因此有 10 种不同的票价 . （2）同一路段，往返时的起点和终点正好相反，所以应准备20 种车票 .图 11 点评：解答本题的关键是先求出A、B两地之间共有多少条线段，然后根据 线段的条数确定票价，最后求出车票种类. 五、方程思想 当题目中的未知量较多时，可以考虑将其中的一个用字母表示，然后尽量 挖掘题目条件中的等量关系，用含字母的代数式表示其他的未知量，最后列方 程解决问题 . 例 9 如图 12，B、C两点把线段 AD分成 234 三部分， M 是 AD的中 点，CD=8 ，求 MC 的长. 图 12 分析：由 ABBCCD=2 34，可设 AB=2x 、BC=3x 、CD=4x ，由 CD=4x=8 ，求得 x 的值，进而求出 MC的长. 解：设 AB=2x ，由 ABBC CD=2 34， 得 BC=3x ，CD=4x ，AD=（2+3+4）x=9x， CD=8 ，4x=8，x=2. CD=4x=8 ，AD=9x=18 ， M 是 AD的中点， MC=MD-CD = AD-CD 6 / 7 = 18-8=1. 例 10 如图 13，AOC与BOD都是 90 ，且 AOB AOD=2 11，求AOB与BOC的度数 . 图 13 解：设 AOB=2x ，则AOD=11x ， AOD- AOB= BOD=90 ， 11x-2x=90，x=10 ，AOB=20 ， BOC= AOC- AOB=90 -20 =70 ， AOB=20 ，BOC=70 . 点评：方程是解决很多数学问题的重要工具.事实上，用设未知数的方法， 可使计算过程简洁，也易于求解.方程思想常用于线段与角的计算. 一元一次方程和不等式巩固练习参考答案 1.D;2.A;3.B;4.C;5. （-3，0）;6.-1;7. ; 8.3x=2x+60 2;9. 37或 49; 10.（1）;（2）x2 （图略） ; 11.解：所编制的方程可以为： 1- =，解得： x= . 12.解：（ 1）一个人操作该采棉机的采摘效率为35 公斤/时，大约是一个 人手工采摘的 3.5 倍，一个人手工采摘棉花的效率为：353.5=10 （公斤/ 时）， 雇工每天工作 8 小时， 一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘棉花：10 8=80（公斤） ; 7 / 7 （2）由题意，得 807.5a=900 ，解得 a= ; （3）设张家雇佣 x 人采摘棉花，则王家雇佣2x人采摘棉花，其中王家所 雇的人中有 x 人自带彩棉机采摘， x 人手工采摘 .张家雇佣的 x 人全部手工采摘 棉花，且采摘完毕后，张家付给雇工工钱总额为14400元，采摘的天数为： =，王家这次采摘棉花的总重量是：（358 x+80 x） =51200（公斤） . 。