
高一数学研究性教学三垂线定理课件.ppt
21页三 垂 线 定 理复习巩固1、直线和平面垂直的判定定理为、直线和平面垂直的判定定理为 2、、①①过平面外一点向这个平面引垂线,垂足叫做这个点在过平面外一点向这个平面引垂线,垂足叫做这个点在 这个平面内的这个平面内的 ②②一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,那一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,那么这条直线叫做这个平面的么这条直线叫做这个平面的 ③③从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,经过垂足和从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,经过垂足和斜足的直线叫斜足的直线叫 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面么这条直线垂直于这个平面射影射影斜线斜线直线在平面上的射影直线在平面上的射影3、已知正方体、已知正方体AC1中,中,求证:求证: ⑴⑴ BD⊥⊥面面AA1C ⑵⑵ BD⊥⊥A1CABCDA1B1C1D13、已知正方体、已知正方体AC1中,中,求证:求证: ⑴⑴ BD⊥⊥面面AA1C ⑵⑵ BD⊥⊥A1CABCDA1B1C1D13、已知正方体、已知正方体AC1中,中,求证:求证:⑴⑴ BD⊥⊥面面AA1C ⑵⑵ BD⊥⊥A1C ABCDA1B1C1D113、已知正方体、已知正方体AC1中,中,求证:求证: ⑴⑴ BD⊥⊥面面AA1C ⑵⑵ BD⊥⊥A1CABCDA1B1C1D13、已知正方体、已知正方体AC1中,中,求证:求证: ⑴⑴ BD⊥⊥面面AA1C ⑵⑵ BD⊥⊥A1CABCDA1B1C1D13、已知正方体、已知正方体AC1中,中,求证:求证:⑴⑴ BD⊥⊥面面AA1C ⑵⑵ BD⊥⊥A1C ABCDA1B1C1D13、已知正方体、已知正方体AC1中,中,求证:求证:⑴⑴ BD⊥⊥面面AA1C ⑵⑵ BD⊥⊥A1C ABCDA1B1C1D13、已知正方体、已知正方体AC1中,中,求证:求证: ⑴⑴ BD⊥⊥面面AA1C ⑵⑵ BD⊥⊥A1CABCDA1B1C1D13、已知正方体、已知正方体AC1中,中,求证:求证: ⑴⑴ BD⊥⊥面面AA1C ⑵⑵ BD⊥⊥A1CABCDA1B1C1D1证明:证明:证明:证明:⑴⑴在正方体在正方体AC1中,中,AA1⊥⊥面面ABCD ∴∴AA1⊥⊥BD又又BD⊥⊥AC AC∩AA1=A∴∴BD ⊥⊥面面AA1C ⑵⑵ 由由⑴⑴知知BD ⊥⊥面面AA1C A1C在面在面AA1C ∴∴BD⊥⊥A1C4、在正方体、在正方体AC1中,中,AC1在平在平面面ABCD、、BB1C1C内的射内的射影分别(影分别( )) 平面平面 ABCD、BB1C1C内 的的 直线直线BD、、BC1分别分别 与与 对应的斜线是否垂直?与对应的斜线是否垂直?与对应的射影呢?对应的射影呢? ABCDA1B1C1D1AC、、B1C垂直垂直POAaα在平面内的一条直线、如果它和这个平面的一条斜线的在平面内的一条直线、如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
射影垂直,那么它也和这条斜线垂直已知:已知:PO、、PA分别是平面分别是平面α的的 垂线、斜线,垂线、斜线, OA是是 PA在平面在平面α内的射影,且内的射影,且a在平面在平面α 内,内, a ⊥⊥ OA求证:求证: a ⊥⊥PA三垂线定理三垂线定理证明:证明:∵∵PO⊥⊥平面平面α 垂垂 且且a在平面在平面α内内∴∴PO ⊥⊥ a 又又a⊥⊥ OA OA ∩ PO=O ∴ ∴a⊥ ⊥面面 PAO ∴ ∴a ⊥ ⊥PA注意注意 关键:关键:⑴⑴ 寻找寻找“垂面垂面” ⑵⑵ 确定确定“射影射影” ⑶⑶判别判别“垂直垂直”三线:斜线、射影、面内一条直线三线:斜线、射影、面内一条直线三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线、如果它和这个平面在平面内的一条直线、如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理符号: a⊥l a⊥l′ABCDA1B1C1D1FE已知:如已知:如 图,正方体图,正方体AC1中,中,E、、F分别为棱分别为棱AB、、BC的中点的中点求证:求证:C1E⊥⊥DF例:例:证明:正方形证明:正方形ABCD 中,中,E、、F分别为分别为AB、、BC中点,中点,∴△∴△DCF≌△≌△CBE. ∠∠CDF== ∠∠BCE 又又∠∠CDF++ ∠∠DFC==900∴∴ ∠∠BCE++ ∠∠DFC==900 ∴∴ DF⊥CE 又因为CC1 ⊥平ABCD ∴∴C1E在平面在平面ABCD 内的射影为内的射影为CE。
由三垂线定理知由三垂线定理知 C1E ⊥DF 小结小结•三垂线定理三垂线定理:⊥在平面内的一条直线、如果它和这个平面在平面内的一条直线、如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直斜线垂直练习和作业1、已知:、已知:O为正方体为正方体AC1的底面的底面ABCD的中点求证:的中点求证:D1O⊥⊥EF2、已知、已知P为为△△ABC所在平面外一点,所在平面外一点, 若若P在平面在平面ABC 内的射影是内的射影是△△ABC的垂的垂心求证:求证:PA⊥⊥BC PB⊥⊥AC PC⊥⊥AB3、如图,、如图,PO是平面是平面α 的斜线,的斜线,O为斜为斜足,足,PA⊥ ⊥α于于A,,OC在平面在平面 α内内ABDC于于B若若PO与平面与平面 α 成成300角角 ,,∠ ∠AOB=450PA=2cm求:求: ⑴⑴PB的长的长⑵⑵∠ ∠POB的大小的大小ABCDA1B1C1D1 OEFPOAαB再见。
