2020版高中数学 第一章 常用逻辑用语章末复习学案（含解析）北师大版选修1-1.docx

第一章 常用逻辑用语章末复习学习目标　1.梳理本章知识，构建知识网络.2.掌握命题的等价性与充要条件的判定及其有关的应用.3.会解决有一些逻辑联结词与量词的简单的综合性问题．1．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)分类：①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；②充分不必要条件：p⇒q且q⇏p.③必要不充分条件：p⇏q且q⇒p.④既不充分又不必要条件：p⇏q且q⇏p.3．全称命题与特称命题(1)全称命题与特称命题真假的判断方法①判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出一个反例．②判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．(2)含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．4．简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假.pq綈pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假1．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．(　√　)2．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．(　×　)3．已知命题p：存在x∈R，x－2＞0，命题q：对于任意x∈R，x2＞x，则命题p或(綈q)是假命题．(　×　)题型一　命题及其关系例1　(1)有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④不等边三角形的三个内角相等．其中是真命题的是(　　)A．①②③ B．②③④C．①③④ D．①③考点　四种命题的真假判断题点　利用四种命题的关系判断真假答案　D(2)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)A．p或q B．p且qC．(綈p)且(綈q) D．p或(綈q)考点　“p或q”形式的命题题点　判断“p或q”形式命题的真假答案　A解析　由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p或q为真命题．反思感悟　1.互为逆否命题的两命题真假性相同．2．“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假．跟踪训练1　命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是(　　)A．若x2>1，则－1≤x≤1B．若－1≤x≤1，则x2≤1C．若－11D．若x<－1或x>1，则x2>1考点　四种命题题点　四种命题概念的理解答案　B解析　条件与结论交换位置，并且分别否定．题型二　充分条件与必要条件命题角度1　充分条件与必要条件的判断例2　(1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点　四种条件题点　识别四种条件答案　(1)B　(2)C解析　(1)∵x2－3x>0⇏x>4，x>4⇒x2－3x>0，故x2－3x>0是x>4的必要不充分条件．(2)∵a>0且b>0⇔a＋b>0且ab>0，∴a>0且b>0是a＋b>0且ab>0的充要条件．反思感悟　条件的充要关系的常用判断方法(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．跟踪训练2　使a>b>0成立的一个充分不必要条件是(　　)A．a2>b2>0 B．>>0C．lna>lnb>0 D．xa>xb且x>0.5考点　四种条件题点　识别四种条件答案　C解析　设条件p符合条件，则p是a>b>0的充分条件，但不是a>b>0的必然结果，即有“p⇒a>b>0，a>b>0⇏p”．A选项中，a2>b2>0⇏a>b>0，有可能是a>0⇔0b>0，故B不符合条件；C选项中，lna>lnb>0⇔a>b>1⇒a>b>0，而a>b>0⇏a>b>1，符合条件；D选项中，xa>xb且01时a>b，无法得到a，b与0的大小关系，故D不符合条件．命题角度2　充分条件与必要条件的应用例3　设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点　充分、必要条件与充要条件的综合应用题点　由四种条件求参数的范围解　(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.又a>0，所以a3}，则AB.所以03，即1，又x∈时，max＝，故当p为真时，m>；函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1＝(2x＋1)2＋m－2，令f(x)＝0，得2x＝－1，若f(x)存在零点，则－1>0，解得m<1，故当q为真时，m<1.若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是.反思感悟　解决逻辑联结词与量词的综合应用问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．跟踪训练4　已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．考点　逻辑联结词与量词的综合应用题点　由复合命题的真假求参数范围答案　[e,4]解析　p：a≥e，q：a≤4，∵p且q为真命题，∴p与q均为真，则e≤a≤4.转化与化归思想的应用典例　已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－m.(1)若对任意x1∈[－1,3]，x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围；(2)若对任意x2∈[0,2]，存在x1∈[－1,3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围．解　(1)由题设知，f(x1)min≥g(x2)max，∵f(x)在[－1,0]上是减少的，在(0,3]上是增加的，∴f(x1)min＝f(0)＝0，又∵g(x)在[0,2]上是减少的，∴g(x2)max＝g(0)＝1－m，∴有0≥1－m，得m≥1，∴m的取值范围为[1，＋∞)．(2)由题设知，f(x1)max≥g(x2)max，∴有f(3)≥g(0)，即9≥1－m，∴m的取值范围是[－8，＋∞)．[素养评析]　从中我们可以看到面对形同质不同的问题，要善于从已有的问题或概念本身出发去加以辨析和研究，将抽象的问题具体化，如此才能更为准确地把握问题的内涵.1．若p是真命题，q是假命题，则(　　)A．p且q是真命题 B．p或q是假命题C．綈p是真命题 D．綈q是真命题答案　D解析　根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．2．已知命题p：00；q：>1.若“(綈q)且p”为真命题，求x的取值范围．考点　“p且q”形式的命题题点　已知p且q命题的真假求参数范围解　因为“(綈q)且p”为真，所以q假p真．而当q为真命题时，有<0，即2