数学分析全套配套课件第4版上下册华东师范大学数学系21-5.ppt

一、三重积分的概念,二、化三重积分为累次积分,三、三重积分换元法,三重积分的典型物理背景是求密度非均匀分布的空间物体的质量. 研究三重积分的方法和步骤与二重积分相似.,数学分析 第二十一章 重积分,*点击以上标题可直接前往对应内容,与二重积分相类似, 通过求一个空间立体 V 的质量,设 V 的密度函数为,为了求 V 的质量, 把 V 分割成 n 小块:,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,三重积分的概念,M 就可导出三重积分.,则,,定义在 V 上的有界函数.,成的曲面网 T 来分割 V，,是,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,现用若干个光滑曲面所组,它把 V 分成 n 个小区域:,并记,使得对于V 的任何,分割 T,,属于 T 的所有积分和都满足,V 上的三重积分, 记作,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,对任,只要,V 称为积分区域.,三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性,质, 这里不再一一细述. 例如:,(1) 有界闭域 V 上的连续函数必三重可积;,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,集中在有限个零体积的曲面 ( 可类似于零面积那样,定义 ) 上,,,1. 积分区域为长方体,上的三重积分存在,,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,化三重积分为累次积分,,且对任何,有限个小长方体,在 上的上、下确界.,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,有,及,上述不等式两边是分割 T 的上和与下和,,限,,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,由于 f 在,下和与上和具有相同的极,且,同样地, 当区域 V 为 zx 型区域时, 即当,是 上的连续函数.,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,时,,此时有,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,类似地, 若,其中,是过点,同样有,使用时应根据实际情形来选择,为 “先二后一”法.,累次的合适顺序.,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,此时,公式 (3),,解 如图21-33 所示, V 在 xy 平面上的投影区域为,它是 x 型区域; 这里,例1 计算,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,所以由,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,,椭圆截面 (垂直于x 轴):,解,其中,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,例2 求,或,,因此,同理,所以求得,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,由于 的面积等于,,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,与二重积分一样, 某些类型的三重积分经过适当的,变量变换后能简化计算.,设变换,的区域 V,,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,三重积分换元法,,积时,,于是与二重积分换元法一样,,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,可以证明如下三重积分换元公式:,下面介绍几个常用的换元公式:,1. 柱面坐标变换,由于变换 T 的函数行列式,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,按 (5) 式, 三重积分的柱面坐标换元公式为,与极坐标变换一样, 柱面坐标变换并非是一对一的,,式成立.,在柱面坐标系中, 用,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,但我们仍可证明 (6),是以 z 轴为中心轴的圆柱面,,是过 z 轴的半,用柱面坐标计算三重积分, 通常是找出 V 在 xy 平面,平面,,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,上的投影区域 D,,,z=常数是垂直于 z 轴的平面 (图21-34).,即当,其中二重积分部分应用极坐标变换计算.,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,所以由公式 (6),,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,是由曲面,例3 计算,其中 V 如图 21-35所示,,解 V 在 xy 平面上的投影,按柱,所围的区域.,区域 D为,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,2. 球面坐标变换,如图21-36, 由于,,换下, 按公式(5), 三重积分的球坐标变换公式为,但仍然可以证明(6) 式,类似地, 球坐标变换并不是一对一的, 并且当,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,所以在球坐标变,成立.,常数是以原点为心的球面,,=常数是以原点为顶,面.,在球坐标系中, 用,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,时,,(7)式可化为累次积分,所确定的立体体积 (图21-37), 其中,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,为常数.,解 在球坐标变换下, 球面方程,可表示成,锥面方程,因此,由公式 (8) 求得 V 的体积为,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,例5 求,所确定的区域.,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,解 作广义球坐标变换,除上面介绍的两种变换外, 下面再举一个例子, 进一,步说明如何根据被积函数或积分区域的特点来选择,其他不同的变换.,于是,在上述坐标变换下, V 的原象为,由公式 (8), 有,§1三重积分,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,,。