必修2立体几何线面、面面平行、线面、面面垂直-2.doc

立体几何空间点、线、面的位置关系1．五种位置关系，用相应的数学符号表示（1）点与线的位置关系：点A在直线l上 ；点B不在直线l上 （2）点与面的位置关系：点A在平面内 ；点B在平面外 （3）直线与直线的位置关系：a与b平行 ；a与b相交于点O （4）直线与平面的位置关系：直线a在平面内 ；直线a与平面相交于点A ；直线a与平面平行 （5）平面与平面的位置关系：平面与平面平行 平面与平面相交于a 平 行 问 题（一）直线与直线平行1.定义：在同一平面内不相交的两条直线平行2.判定两条直线平行的方法：（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行（公理4），记为a//b,b//c a//c（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

记为：．（3）两个平面平行的性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行4）线面垂直的性质定理：如两条直线同垂直与一个平面，则这两条直线平行（二）直线与平面平行1.定义：直线a与平面没有公共点，称直线a平行与平面，记为a//2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行定理模式：．3、找线线平行常用的方法：①中位线定理 ②平行四边形 ③比例关系 ④面面平行-线面平行_H_G_D_A_B_CEF① 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形ABCD中，，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．（１）求证：GH∥平面CDE；（２）若，求四棱锥F-ABCD的体积．（1）证明：连结EA，∵ADEF是正方形　∴G是AE的中点∴在⊿EAB中， 又∵AB∥CD，∴GH∥CD， ∵平面CDE，平面CDE ∴GH∥平面CDE（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD 且FA⊥AD， ∴FA⊥平面ABCD. ∵, ∴ 又∵ ，∴BD⊥CD ∴ ＝ ∴ ＝ 3、如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点。

1）证明：；（2）求以为轴旋转所围成的几何体体积解析：（1）连接交于，连接…………2分是正方形，∴为中点，为的中点，∴ 又平面,（2）过作的垂线，垂足为，则几何体为为半径，分别以为高的两个圆锥的组合体 侧棱底面∴，，w. ∴ ==②平行四边形 例2、 如图, 在矩形中, , 分别为线段的中点, ⊥平面.求证: ∥平面；（利用平行四边形） 证明: (Ⅰ) 在矩形ABCD中,∵AP＝PB, DQ＝QC,∴APCQ. ∴AQCP为平行四边形.∴CP∥AQ. ∵CP平面CEP, AQ平面CEP, ∴AQ∥平面CEP. ③比例关系例题3、P是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是PB、BC上的点，且,求证：MN//平面PCD(利用比例关系)证明： 在三角形PBC中，MN//PCMN平面PCD，PC平面PCD MN//平面PCD④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2Ⅰ）求证：平面ABE//平面CDF（II）求证：AE//平面DCF；（利用面面平行-线面平行）（三）.两个平面的位置关系有两种：相交（有一条交线）、平行（没有公共点）1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

定理的模式：2.垂直于同一直线的两个平面互相平行例、在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面∥平面. 证明：、分别是、的中点，∥……2分又平面，平面∥平面……4分四边形为，∥……6分又平面，平面∥平面，……10分，平面∥平面……12分3.两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 空间线面垂直、面面垂直一、直线与平面垂直：直线与平面内任意一条直线都垂直垂线、垂面、垂足、画法二、线面垂直的判定判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面三、线面垂直的性质定理：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直这个平面内的任何一条直线四、证线线垂直的方法：① 菱形的对角线互相垂直 ② 等腰三角形底边的中线垂直底边③ 圆的直径所对的圆周角为直角 ④ 利用勾股定理⑤ 间接法，用线面垂直的性质定理（）①菱形的对角线互相垂直：例题已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面 求证：EF⊥平面GMC．证明（1）连结BD交AC于O，∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，∴EF⊥AC．∵AC∩GC＝C，∴EF⊥平面GMC．②等腰三角形底边的中线垂直底边ACBP例1、 如图，在三棱锥中，，，，．求证：；解：取中点，连结．，．，．，平面．平面，．③圆的直径所对的圆周角为直角PACBHO例题3、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若,且AH与PC交于H，求证：AH平面PBC. ④利用勾股定理例4、在长方体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，E是侧棱的中点。

求证：平面； 证明：为长方体， 又 E是的中点，且 又 又 ⑤间接法，用线面垂直的性质定理（）五、面面垂直(1）两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面2）两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C是圆上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC. 证明：设⊙O所在平面为α，又已知条件，PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC. （3）两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面例1：如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD, O为AD中点.，求证:PO⊥平面ABCD；证明：△PAD中PA＝PD，O为AD中点，PO⊥AD.侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，PO⊥平面ABCD.例2：如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面．（1）若为的中点，求证：平面；（2）求证：；证明：（1）,固为等边三角形，又为的中点，又平面平面且交于AD，平面 (面面垂直的性质)（2）是等边三角形且为的中点，且，，平面，平面，五、体积问题1. 如图，是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。

1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积. 解（1）证明：连接D1C交DC1于F，连结EF∵正四棱柱，∴四边形DCC1D1为矩形，∴F为D1C中点.在△CD1B中，∵E为BC中点，∴EF//D1B. 又∵D1B面C1DE，EF面C1DE，∴平面.（2）连结BD，，∵正四棱柱，∴D1D⊥面DBC. ∵DC=BC=2，∴..六:等体积法求高（距离）： 如：三棱锥 V= VS =SBEA例题CDEPFB例题、如图，在四棱锥中，平面；四边形是菱形，边长为2，，经过作与平行的平面交与点，的两对角线交点为．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求点到平面的距离．（Ⅰ）证明：连接．因为四边形是菱形，所以． 又因为平面，平面，所以． 而，所以平面．平面PBD，所以． （Ⅱ）连．设点到平面的距离为由题平面，平面平面 所以 ， 点是中点，则是的中位线，，故，正三角形的面积 由（Ⅰ），知平面， ，易求得， 所以 故点到平面的距离为． 3、如图4，在四棱锥中，平面平面，，ABCPD是等边三角形，已知，． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积．（1）证明：在中，由于，，， ∴. ∴ ．又平面平面，平面平面，平面，∴平面. （2）解：过作交于.又平面平面， ∴平面． ∵是边长为2的等边三角形， ∴.由（1）知，，在中，斜边边上的高为. ∵，∴. ∴. 代理商以主要城市为区分，具有唯一性与排他性：一个城市或地区只能有一个代理商，别的地区的代理商不能跨地区开拓业务，但两地代理商之间进行合作公关的除外。