类对面积的曲面积分.ppt

10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分110.4 第一类第一类(对面积对面积)的的曲面积分曲面积分surface integral概念的引入概念的引入对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法小结小结 思考题思考题 作业作业第第1010章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分2实例实例解解 第一步第一步: : 将将ΣΣ分为许多分为许多极其微小的子域极其微小的子域,以以dS为为代表代表,dS的质量为的质量为: 第二步第二步: : 求和取极限求和取极限则则取取 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时,切平面也连续转动切平面也连续转动. .它的面密度为连续函数它的面密度为连续函数求它的质量求它的质量.一、概念的引入一、概念的引入曲面构件质量曲面构件质量若曲面若曲面ΣΣ是是光滑光滑的的, 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分31. 定义定义函数函数 f (x, y, z)在在Σ上上意取定的点意取定的点,并作和并作和如果当各小块曲面的直径如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在这和式的极限存在, 则则的最大值的最大值(1)(2)(3)(4)二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义第第i 小块曲面的面积小块曲面的面积),作乘积作乘积设曲面设曲面Σ是是(ΔSi同时也表示同时也表示有界有界.把把Σ 任意分成任意分成n小块小块ΔSi 光滑的光滑的,定义定义 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分4或或记为记为即即如曲面是如曲面是曲面面积元素曲面面积元素被积函数被积函数则积分号写成则积分号写成积分曲面积分曲面极限为函数极限为函数f (x, y, z)在在对面积的曲面积分对面积的曲面积分第一类曲面积分第一类曲面积分. .闭曲面闭曲面, ,曲面曲面ΣΣ上上 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分52. 存在条件存在条件若若ΣΣ是分片光滑曲面是分片光滑曲面,今后今后, 假定假定f (x, y, z)在在ΣΣ上上连续连续. .则函数则函数3. 对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质函数函数f (x, y, z)定理定理在光滑曲面在光滑曲面ΣΣ上上连续连续 (或除有限条分段或除有限条分段光滑曲线光滑曲线外外, f (x, y, z)在在ΣΣ上上连续连续, 且在且在ΣΣ上上有界有界), f (x, y, z)在在ΣΣ上的第一类上的第一类(对面积对面积)曲面积分存在曲面积分存在. .若若ΣΣ可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面ΣΣ1及及ΣΣ2, 则则 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分64. 对面积的曲面积分的几何意义对面积的曲面积分的几何意义空间曲面空间曲面ΣΣ的面积的面积: :5. 对面积的曲面积分的物理意义对面积的曲面积分的物理意义面密度为连续函数面密度为连续函数的质量的质量M为为:其质心坐标为其质心坐标为: 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分7 补充补充设分片光滑的设分片光滑的x的奇函数的奇函数,x的偶函数的偶函数其中其中则则曲面曲面ΣΣ关于关于yOz面对称面对称,当当f (x, y, z)为为当当f (x, y, z)为为 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分8 研究生考题研究生考题(选择题选择题3分分)限中的部分限中的部分, 则有则有ΣΣ1为为ΣΣ在第一卦在第一卦 分析分析关于平面关于平面 yOz与与xOz对称对称, 而而(A)(B)(D)左端的被积函数或关于左端的被积函数或关于x是奇函数或关于是奇函数或关于y是奇函是奇函数数. 故故(A)(B)(D)左端的积分均为左端的积分均为0,而右端的积分均而右端的积分均大于大于0. 因此因此(A)(B)(D)均不成立均不成立.反观反观(C), 其左端的被积函数其左端的被积函数(x与与y不出现不出现)可看作可看作x或或y的偶函数的偶函数,故有故有反观反观(C), 其左端的被积函数其左端的被积函数(x与与y不出现不出现)可看作可看作x或或y的偶函数的偶函数,故有故有有有轮换对称性轮换对称性, 故故从而选从而选(C). 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分9则则按照曲面的不同情况分为以下四种按照曲面的不同情况分为以下四种:思想是思想是: 化为二重积分计算化为二重积分计算. .(1)三、三、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法曲面的面积元素曲面的面积元素曲面曲面ΣΣ选好投影面选好投影面 算出曲面面积元素算出曲面面积元素将曲面方程代入将曲面方程代入被积函数被积函数若曲面若曲面ΣΣ: : 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分10则则则则(2)(3)若曲面若曲面ΣΣ: :若曲面若曲面ΣΣ: : 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分11(4)则则若曲面若曲面ΣΣ: : 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分12确定投影域并写出确定投影域并写出 然后算出曲面面积元素然后算出曲面面积元素; ;最后将曲面方程代入最后将曲面方程代入被积函数被积函数, ,对面积的曲面积分时对面积的曲面积分时, ,首先应根据首先应根据化为二化为二曲面曲面ΣΣ选好投影面选好投影面, ,曲面曲面ΣΣ的方程的方程, ,重积分进行计算重积分进行计算. . 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分13例例解解投影域投影域:所截得的部分所截得的部分.故故二二重重积积分分的的对对称称性性对称性对称性 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分14计算曲面积分计算曲面积分其中其中ΣΣ是球面是球面解解ΣΣ的方程的方程方程是方程是:方程是方程是:投影域投影域ΣΣ记记上半球面上半球面为为ΣΣ1,下半球面下半球面为为ΣΣ2,不是单值的不是单值的. .的值的值. 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分15对对上半球面上半球面得得对对下半球面下半球面ΣΣ是球面是球面 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分16所以所以极坐标极坐标 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分17解解 依依对称性对称性知知例例抛物面抛物面有有被积函数被积函数ΣΣ1为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面.关于关于xOz面、面、 yOz面均面均对称对称;关于关于y、、x为偶函数为偶函数. 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分18极极坐坐标标投影域：投影域：积分曲面积分曲面 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分19例例解解积分曲面方程中的变量积分曲面方程中的变量x、、y、、z具有具有轮换轮换对称对称提示提示即三个变量轮换位置方程不变即三个变量轮换位置方程不变.轮换对称性轮换对称性, , 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分20例例所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表面. 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分21解解投影域投影域例例所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表面.对对称称性性 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分22(左右两片投影相同左右两片投影相同)将将投影域投影域选在选在注注分成左、右两片分成左、右两片对对称称性性所以所以xOz面上面上 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分23计算计算其中其中ΣΣ为球面为球面之位于平面之位于平面 曲面曲面ΣΣ的方程的方程ΣΣ在在xOy面上的面上的投影域投影域ΣΣ解解上方的部分上方的部分. 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分24ΣΣ于是于是x3是是x的奇函数的奇函数, x2y是是y的奇函数的奇函数.因曲面因曲面ΣΣ关于关于yOz面及面及xOz面对称面对称; 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分25研究生考题研究生考题,计算计算,6分分解解 积分曲面积分曲面ΣΣ在在xOy面上的面上的投影域投影域: 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分26积分曲面积分曲面极极坐坐标标 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分27 对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念四、小结四、小结四步四步: 分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限思想思想: 化为化为二重积分计算二重积分计算; 对面积的曲面积分的几何意义与物理意义对面积的曲面积分的几何意义与物理意义曲面方程四种形式的计算公式曲面方程四种形式的计算公式 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分28思考题思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的定积分、二重积分、三重积分、对弧长的是非题是非题是是因为若因为若Ω为直线上的区间为直线上的区间[a, b], 则则 故故曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分29思考题思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的定积分、二重积分、三重积分、对弧长的是非题是非题是是 若若Ω是平面区域是平面区域G, 则则故故曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分30思考题思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的定积分、二重积分、三重积分、对弧长的是非题是非题是是 若若Ω是空间区域是空间区域,则则故故曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分31思考题思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的定积分、二重积分、三重积分、对弧长的是非题是非题是是 若若Ω为平面为平面(空间空间)曲线曲线L, 则则部分和式的极限为曲线积分部分和式的极限为曲线积分曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分32思考题思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的定积分、二重积分、三重积分、对弧长的是非题是非题是是 若若Ω为曲面为曲面Σ, 则上述部分和式的极限就是则上述部分和式的极限就是曲面积分曲面积分曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 10.4 第一类第一类(对面积对面积)的曲面积分的曲面积分33作作 业业习题习题10.4(44410.4(444页页) )。