2023年经济数学基础学习材料第新版二篇.doc

《经济数学基础》学习材料第一篇预备知识 (不作为考试内容)量的概念量的分类：常量：始终取固定值，如等； 变量：可以取不同值，如等量的表达法：表达数的范围有多种方法，重要有区间、不等式、集合和绝对值等区间：记为称为闭区间 记为称为开区间 记为称为半开区间 记为称为半闭区间 全体实数记为，用表达 记为；记为 记为；记为集合：区间用集合表达为 区间 用集合表达为 则 （交集） （并集）绝对值：表达实数到原点的距离叫绝对值，记为, (分段函数) 如，， 记为 记为 记为或 记为或 注意：（1） ；（2）例 解不等式 解 由得,不等式两边同时乘以（-1）得： ,移项得，，第1章 函 数§1 函数概念量与量之间的关系：有依赖关系，如圆的半径与面积，两者之间有关系，其关系可通过式子表达 无依赖关系，如人的身高与视力，两者之间无必然关系一、 函数的定义设有二个变量，互相之间有依赖关系，若存在一个相应关系，使对于每一个值（，都有唯一的值与之相应，则称是的函数，记为。

其中称为自变量，称为因变量，的取值范围称为定义域，的取值范围称为值域注意：（1）若一个值相应一个值，则称函数为单值函数，如若一个值相应多个值，则称函数为多值函数，如（2）函数的表达法与自变量的符号无关如与是同一函数；（3）有时函数不能用一个式子表达，而必须用多个式子表达，则称为分段函数如 （4）根据函数的表达形式，还可以把函数分为显函数和隐函数 如（显函数），（隐函数）二、 定义域自变量的取值范围称为函数的定义域求法：1、若则 2、若 则 3、若则 4、若则 5、若则6、若的定义域为，则、或的定义域为7、若 则的定义域为例 求的定义域解 函数的定义域为 例 求的定义域解 对于，规定即 对于, 规定,即,, 即 故所求函数定义域为：例 求的定义域 解 的定义域是即 的定义域是即 所求函数的定义域为例 求的定义域解 对于，规定且，即且； 对于, 规定,即； 故所求函数的定义域为： 例 求 的定义域 解 ∵是分段函数，∴其定义域为各段取值范围的并集， 故所求的定义域为三、 函数值对于,则称为函数值。

例 设，则，例 设，求 解 例 设 解 ， 例 设 ，求 解 例 设 ，求 解 四、 拟定函数的要素拟定函数有两个要素：定义域和相应关系若二个函数的定义域和相应关系都相同，则二个函数相同，否则不同例 与是相同函数； 与是不同函数（定义域不同）； 与是不同函数（相应关系不同）； 与是不同函数（定义域不同）； 与是不同函数（定义域不同）；与是相同函数 例 下列函数中( )是同一函数 与 与 与 与§2 函数的基本属性一、 单调性（1）、若，有，则称函数递增；（增长，上升）（2）、若，有，则称函数递减减少，下降）例 在内递减，在内递增； 在内递增； .在及内递减二、 奇偶性例 设，其图像关于y轴对称，设，其图像关于原点对称， 一般地，若，则称是偶函数，其图像关于y轴对称； 若，则称是奇函数，其图像关于原点对称； 若，则称是非奇非偶函数。

例 证明是偶函数，是奇函数 证 是偶函数， 又是奇函数 偶函数类：C、等， 奇函数类：等 例 下列函数中( )是奇函数 例 函数的图像关于 对称 奇、偶函数的运算规律如下：偶偶=偶，如 奇奇=奇，如偶奇=非奇非偶，如奇奇=偶，如 偶偶=偶，如偶奇=奇，如例 证明函数是奇函数证明 是奇函数三、 有界性例、一个人从出生之后，随着年龄的增长，身高也不断增高，到了一定年龄、身高将稳定在一个定值，比如是1.68米，之后随着年龄的增长，身高将不会超过1.68，则1.68米称为这个人身高的极限例 在内，不管取何值，总有从而称为有界函数；在内，总有为有界函数； 而在内无界，在内也无界 一般地，若函数在定义域内函数值不超过某一界线，即则称有界，否则称为无界四、 周期性我们知道，假如今天是星期四，那么过了七天之后，仍然是星期四，因此说星期这一时间记法具有周期性，其周期就是七天例 在上的图形，在上又再反复出现，故是周期函数，其周期为,事实上，由三角函数的诱导公式知：一般地，对于函数,若,(其中T为正数)，则称是周期函数，其周期为T。

例 是周期函数，其周期为； 也是周期函数，其周期均为.§3、初等函数一、 基本初等函数在中学，我们学过了下面几种最基本的函数，叫做基本初等函数1、 常量函数：,如等定义域为，图象是平行于轴的直线2、 幂函数：(为常数)，如等 定义域及图象随的不同而不同 形如称为多项式函数 如，等3、 指数函数：等 定义域为，当时，；，当时， 指数运算性质：，，，4、 对数函数： 定义域为，当时，；，当时，以10为底的对数叫常用对数，简记为，记住：以e为底的对数叫自然对数，简记为，记住： （其中是一个无理数） 对数运算性质：；；对数恒等式：，5、 三角函数：正弦函数：； 余弦函数：； 正切函数：； 余切函数：； 与的定义域都是，且（都是有界函数，周期都是） 记住： 的定义域都是；的定义域都是（都是无界函数，周期都是） 记住：不存在；不存在； 二、 复合函数一般地，我们经常碰到的函数往往不会象上述函数那么简朴，而是更为复杂的函数例 函数,显然它不是一个基本初等函数，但假如我们设，那么就可以当作是由，而两个简朴函数复合而成的。

定义 设而则为复合函数，其中u称为中间变量例 分解下列函数： 解 1、可分解为2、可分解为 3、 可分解为 例 分解下列函数： 解 函数可分解为，其中；三、 初等函数 由基本初等函数通过有限次加、减、乘、除四则运算或复合而得到的函数称为初等函数例 ，，等等练习 1、若，则_______.解 令 则,代入得 ，从而 2、若则______, 解 令则，代入得, 从而 3、若,则=______ , . 解 令,则代入得 ，从而 4、已知，求 解 ，， 5、若的定义域为，则的定义域为______ 解 ∵的定义域为[0，2]，∴，而与是同一函数， ∴ 从而的定义域为[1,3] 练习 设的定义域为，求的定义域§4、经济分析中常见的函数 一、需求函数 设市场对某产品的需求量为，而该产品的价格为，一般来说，价格愈高则需求量愈少，两者之间存在函数关系，称为需求函数，其一般式为：，其中， 例 当手表的价格为70元/只时，需求量为10000只，若价格每只提高3元，则需求量减少3000只，求需求函数。

解 设为需求量，为价格，当每只提价元时，需求量减少只，则有： ：3000=：，解得 从而需求量=10000-=10000-1000=80000-1000 二、供应函数 从供应商的角度来说，商品价格愈高愈有利，因此价格愈高则供应量愈多 设供应量为，价格为，则供应函数，其中 对同一种商品，当需求量等于供应量时，这种商品就达成了市场均衡，此时的价格称为市场均衡价格例 设某商品的供应函数和需求函数分别为： 求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量 解 令得25=，，代入上式得三、成本函数 总成本=固定成本+变动成本 设产量为，固定成本为，单位产品变动成本为，则 成本函数： 当时， 平均成本函数：例 生产某产品的总成本(单位：元)是，求生产50件产品时的总成本和平均成本 解 生产50件产品的总成本为（元） 而平均成本函数 故生产50件产品的平均成本为（元/件） 四、收入函数 设产品的销量为，价格为，则收入函数： ，当时， 平均收入函数：例 已知某商品的需求函数为，试求该商品的收入函数，并求销量量为10时的平均收入。

解 收入函数 而平均收入函数 故销售量为10时的平均收入为 五、利润函数 利润=收入—成本，即利润函数：, 平均利润函数： 令即解出称为盈亏平衡点（也称为保本点）例 设生产某产品的固定成本为20230元，单位产品（每台）的变动费用为3000元，每台售价为5000元，求总成本函数、收入函数、利润函数及盈亏平衡点 解 设产品为台，则 成本函数，收入函数， 利润函数 令，即，解得（台），即盈亏平衡点为台第2章 极限、导数与微分§1、极限概念 一、无穷小量与无穷大量 1、无穷小量 例 数列，即：1，，，………… 当n无限增大时（记为），无限变小（记为），即 例 数列，即： 例 数列，即：当时，， 例 设,则当时，定义 设有变量，其变化趋势趋向于0，即，则称为无穷小量， 例 当都是无穷小量 注意：无穷小量是一个变量，常量中只有0才是无穷小量，而10，0。

0001都不是无穷小量性质（1）、无穷小无穷小=无穷小，如是无穷小 （2）、无穷小×无穷小=无穷小，如是无穷小 （3）、有界量×无穷小=无穷小，如是无穷小 2、无穷大量 例 设, 当时，，当时， 例 数列，即， 。