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商品价格的需求概率与需求风险模型1化存才 云南师范大学数学学院，昆明，650092; Cuncai-hua@ 摘摘 要：要：从商品的需求因素出发研究商品价格的概率和风险模型首先，给出了商品价格的需求概率分布和需求概率最大定价公式，证明了需求量最大的价格就是需求概率最大价格，它低于利润最大价格需求最大价促成了价格和消费的从众性，可以理解为商品的平价其次， 借助于金融数学中风险的度量， 通过推广方差的定义， 得到了价格变量的需求风险函数，在比较五种特殊价格的需求风险之后，得出：期望价格的风险最小，需求概率最大价格和利润最大价格风险次之，最高价和最低价的风险最大；再次，讨论了浮动(折扣)价格的需求概率与需求风险，给出由于调价而产生的需求风险增加或者降低的条件最后，通过 2006 年昆明市春运浮动价格乘客选择意向调查对结果进行了验证 关键词：关键词：商品，需求概率，需求风险，数学模型 1. 引引 言言 在商品的购销中，影响商品交易成功的因素很多，除了商品的质量，消费者的需求，销售商的优质服务态度和生产企业良好的售后服务保障体系外，商品的价格往往起着主导作用，比如大型超市的商品价格(即所谓的平价)，航空机票的优惠价格等。

在保证赢利的条件下，销售商经常推出各种不同的促销价(优惠价)让利于消费者，以便赢得更多的消费者来购买商品，做到薄利多销但从消费者来看，他会权衡自己的需求和经济能力去选择合适的优惠价格实际上，商品的价格能否完全被消费者所接受都是事先不能完全确定的，由此带来了商品销售量(需求量)和销售收益的随机性，这表明商品的价格以一定的概率产生相应于它的需求量因此，不同的价格将会导致不同的需求概率，也就必须要承担由于定价而引起的风险 航空机票的价格就是一个典型的例子， 每种优惠价格都会带来相应需求量的随机变化，从而导致销售收益存在着一定的风险另一方面，一种商品在其供求矛盾突出的时候，其销售价格往往也需要考虑适当地向上浮动， 但是这种涨价对于有些涉及公共利益的商品而言就会成为很敏感的社会问题，并且也将会带来需求量的显著变化，比如说春运中的客运票价，日常生活中的水、电、气的价格等，此时就必须要协调处理好相关的社会问题近年来，我国采取“价格听证会”的法律形式处理许多公共商品的定价问题，它反映了价格决策的科学化，公开化和民主化，在一定程度上阻止了垄断价格[1-2]以立法形式确定的商品价格是从维护公共利益出发，兼顾了经济和社会效益，具有一定的公正性，因而能得到社会上多数人的认可，它是不容许改变的。

从数学上来解释，就是只接受一种合法制定的价格，即该价格1 本课题得到云南省引进高层次人才工作经费(2003), 云南省自然科学基金(2005A0026M)和云南省 “金融数学”十五重点学科建设项目资助 - 1 - 的需求概率为 100%， 以这种价格交易商品是没有需求风险的(社会大众总是需要消费这种商品，如果说存在销售风险的话，那么它也不是价格本身引起的) 至今，已有较多的文献研究关于商品的最优价格和折扣定价模型问题，比如，有视需求函数为价格的减函数的简单最优价格模型[3]，供应链管理中供需双方协调以节约双方费用的优化定价模型，以及考虑经济批量的数学折扣定价模型等[4-7]这些模型都是讨论面向生产企业供货和销售商批量订货的折扣定价问题， 而较少讨论直接面对销售商和消费者之间商品购销的定价模型文献[8]归纳讨论了随机需求条件下现有的各种机票定价方法文献[9]研究了企业价格风险的种类(市场价格，汇率，利率)及其影响与度量，[10]讨论了企业价格(高价，低价)的策略及其风险与对策事实上，正如文献[9-10]所述，引起价格风险的多种因素是较多的，有市场价格，汇率，利率，需求，政治，竞争等最近，文献[11]给出了商品价格上浮和保持的条件，提出了一种价格折扣策略和二次需求函数模型。

但是，文献[9-10]都不是从数学上去分析价格的风险 本文主要从商品的需求因素出发去研究商品价格的概率和风险模型 首先， 给出了商品价格的需求概率分布和需求概率最大定价公式其次，通过推广方差的定义，得到了价格变量的需求风险函数， 比较了五种特殊价格的需求风险； 再次， 讨论了的需求概率与需求风险，给出由于价格浮动(折扣)而产生的需求风险增加或者降低的条件最后，通过 2006 年昆明市春运浮动价格乘客选择意向调查对结果进行了验证 2. 商品购销中价格的需求概率分布和需求概率最大价格商品购销中价格的需求概率分布和需求概率最大价格 假设在赢利的条件下，销售商可制定出从小到大的1+M个商品价格，在一定的时间内，销售商按这些价格销售时得到的销售量依次为:记，以表示在供求关系正常时，商品的销售价格，表示以价格销售商品的概率，则是一随机变量因为每种价格对应的销售量(需求量)反映了消费者对于这种价格的认可程度，所以由概率的频率定义，Mppp,,,10L)(,),(),(10MpnpnpnL)()()(10MpnpnpnN+++=Lp)Pr(ipp =ippNpni)(反映了商品能够按照价格进行交易的需求概率，于是我们得到价格变量满足离散型的需求概率分布如下(见表 1)： ipp表 1. 价格的离散型需求概率分布 pp… 0p1p2pMpPr Npn)(0Npn)(1Npn)(2… NpnM)(由此，我们可按照需求概率最大的原则去选择下一次商品的价格为： ikkippmax0=，如果{}.)Pr(max)Pr( 0iMikipppp=== ≤≤(1) 定义定义 1. 称由公式(1)所给出的商品销售价格为需求概率最大价格。

不难得出，以立法形式固定的商品价格的概率分布是单点分布 - 2 - 下面，我们证明需求量达到最大的价格就是需求概率最大的价格设)(pθ是销售量随价格变化的需求函数，它可由离散价格与销售量通过数据拟合得到记Mppp,,,10L)(,),(),(10MpnpnpnL{})(max~0pMpppθθ ≤≤=为)(pθ的最大值，则由函数)(pθ的连续性和不等式Npn Npnii)()(0≤，我们有： )(lim)()(~000pppnippiiθθθ →=≈≈， 再由需求概率的最大定价公式(1)，我们得到最大需求概率为： {.Pr)(}~00 iippNpn N==≈θ(2) 这表明，需求量达到最大的价格可选择为需求概率最大的价格因此，公式(2)也可作为需求概率最大定价的依据 0ip在现实生活中， 人们普遍接受了平价商品的购销方式， 故平价商品可以带来需求量的最大化，同时也就促成了价格和消费的从众性通常，需求最大价可以理解为商品的平价 最后， 我们讨论需求概率最大价和利润最大价的关系 以表示利润最大价， 我们有： *p引理引理 1. 0*ipp ≥证明证明：设商品的批发价为，价格，非批发成本为，则销售的纯利润为W为： p>C.)()()(CpqppW−−=θ 由需求最大价和利润最大价的定义知： 0ip*p)(*)(0ipWpW≥，)(*)(0ippθθ≤， 从而得到：。

引理 1 成立 0*ipp≥引理 1 也给我们提供了利润最大化的调价方法： 利润最大价要高于需求最大价 *p0ip3. 价格的需求风险定义与五种特殊价格的需求风险比较价格的需求风险定义与五种特殊价格的需求风险比较 在本节中，我们先定义价格变量的需求风险函数，然后再比较五种特殊销售价格(最低价，需求最大价，期望价格0p0ipp，利润最大价和最高价)的需求风险，最后给出价格变量的平均需求风险 *pMp按照数学期望的定义，商品的期望价格p定义为： . )Pr(0∑ ====MiiipppEpp(3) 在金融数学中，随机变量的方差可作为风险的古典度量[10]现在我们将随机价格的方差写作：p2)(ppEpDp−=， 它表示了期望价格的风险 为了度量每一种价格的风险，我们将随机变量的方差定义进行推广，引入 ip- 3 - 定义定义 2. 设价格的需求概率分布如表 1 所述对于价格变量pξ，定义其风险函数为： .)()()(22ppDpEpDfp−+=−==ξξξξ(4) 可见，风险函数222)(ξξξ+−=pEpf是价格变量ξ的二次函数由极值条件和 )(2)(pf−=′ξξ，, 02)(>=′ ′ξf (5) 知p是)(ξf的最小值，因此期望价格p的需求风险是最小的。

即有： 定理定理 1. 期望价格p的需求风险是所有价格中最小的 下面我们比较一下几种特殊价格 (最低价，需求最大价，利润最大价和最高价)的需求风险我们有： 0p0ip*pMp定理定理 2. 关于最低价， 需求最大价， 利润最大价和最高价)需求风险， 有： 0p0ip*pMp)}(),(min{)(00Mipfpfpf≤；)}.(),(min{*)(0Mpfpfpf≤ (6) 证明证明: 由(5)知，当p>ξ时，)(ξf单调增加；当p<ξ时，)(ξf单调减少，再根据引理 1，我们有： )(*)()(0Mipfpfpf≤≤，当ppppiM≥≥≥0*时； )()(*)(00pfpfpfi≤≤，当ppppi≤≤≤*00时 (7) 从而就有式(6)成立 根据定理 1 和 2，五种特殊价格(最低价，需求最大价，期望价格0p0ipp，利润最大价和最高价)的需求风险，以期望价格*pMpp最低，需求最大价和利润最大价次之，最低价和最高价为最大 0ip*p0pMp一般地，对于任意两种价格与，，我们有： ipjpijpp ≥].2)[(ppppppDpDjiijppij−+−=−定理定理 3. 当pppji≥+2时，有，故价格的需求风险较大；而当pDpD ijpp≥jppppji≤+2时，有，故价格的需求风险较小。

pDpD ijpp≤jp最后，我们讨论价格变量的算术平均风险和期望风险实际上，当价格变量分别视为确定性变量与随机变量时，我们有价格的算术平均风险与期望风险分别为： ),(31)()(1)(2 02 00200MMMppMpppppppEpdfppfM++++−=−=∫ξξξ (8) .2)(pDEfp=ξ (9) 4. 浮动浮动(折扣折扣)价格的需求概率和需求风险价格的需求概率和需求风险 在本节中，我们转而讨论浮动(折扣)价格的需求概率和需求风险 - 4 - 设α是在需求概率最大价格0ipp =的基础上给定的浮动(折扣)率，则浮动(折扣)价格为0ipα如果有使得0j00jipp=α，那么我们就有浮动(折扣)价格的需求概率为： .)(}Pr{}Pr{0 00Npnppppj ji====α (10) 因为Npn Npnij)()(00≤，所以有}Pr{}Pr{00iipppp=≤=α，这说明在选择了需求概率最大的价格0ipp =后，商品的销售正旺，不应考虑调价 如果要考虑调价，那么就必然要承担相应的需求风险。

因为需求风险之差为： ].2)1[() 1()(0000ppppDpDgiippii−+−=−=αααα(11) 所以，当ppi≤0时，只要上调1120≥−≥ippα，就有，亦即向上浮动定价会增加需求风险当pDpD iipp00≥αppi≥0时，只要下调11200≤−≤